Derivada de constantes e funções polinomiais
\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{3}+5 \mathrm{x}^{2}+6 \mathrm{x}+7

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4x^{3}+5x^{2}+6x+7
e pede a derivada f'(x). Vamos usar duas ideias básicas:
  1. A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  2. A regra do monômio (power rule):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}
e a derivada de constante é zero.

Passo 2

Aplicando a regra do monômio ao termo 4x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =4\cdot(3x^{2}) =12x^{2}.

Passo 3

Aplicando ao termo 5x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{2}\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =5\cdot(2x) =10x.

Passo 4

Aplicando ao termo 6x:
\frac{d}{dx}\bigl(6x\bigr)=6\cdot\frac{d}{dx}(x) =6\cdot1 =6.

Passo 5

A derivada da constante 7 é
\frac{d}{dx}(7)=0.

Passo 6

Somando todas as contribuições, pela linearidade da derivada, obtemos
f'(x)=12x^{2}+10x+6+0
ou simplesmente
f'(x)=12x^{2}+10x+6.

Resposta

f'(x)=12x^{2}+10x+6

Exercícios relacionados