(Derivada direcional e Regra da cadeia - \mathbf{2 . 5} pontos) Faça o que se pede.
Se z=x^{5} y^{2}+x, x=s^{2} t e y=s t, calcule \frac{\partial z}{\partial s}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Função z em termos de x e y:
z = x^{5} y^{2} + x.
  • Relações de x e y em função de s e t (essas dependências são fornecidas):
x = s^{2} t,\qquad y = s t.
  • O que pede: calcular \dfrac{\partial z}{\partial s} — isto é, a derivada parcial de z em relação a s, tratando t como variável independente (constante ao derivar em relação a s).

Passo 2

Explicando a ferramenta principal que vamos usar: a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
Se z=z(x,y) e x=x(s,t), y=y(s,t), então a derivada parcial de z em relação a s é dada por
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s}.
O que cada símbolo significa:
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial z}{\partial y} é a derivada parcial de z em relação a y, tratando x como constante.
  • \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s} são as derivadas parciais das funções x(s,t) e y(s,t) em relação a s, tratando t como constante.
Raciocínio intuitivo: mudanças em s alteram x e y; a mudança total de z por s é a soma das contribuições vindas da variação de x e da variação de y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir de z(x,y)=x^{5}y^{2}+x.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial x}: trate y como constante. A derivada de x^{5}y^{2} em relação a x é 5x^{4}y^{2} (use a regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}, e y^{2} é constante). A derivada de x é 1. Assim,
\frac{\partial z}{\partial x}=5x^{4}y^{2}+1.
  • Para \dfrac{\partial z}{\partial y}: trate x como constante. A derivada de x^{5}y^{2} em relação a y é 2x^{5}y (regra do poder em y, com x^{5} constante). O termo +x não depende de y, então sua derivada é 0. Assim,
\frac{\partial z}{\partial y}=2x^{5}y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial x}{\partial s} e \dfrac{\partial y}{\partial s} a partir das definições x=s^{2}t e y=st, lembrando que t é tratado como constante ao derivar em relação a s.
  • Para x=s^{2}t: t é constante, então por regra do poder e fator constante,
\frac{\partial x}{\partial s}=2s\,t.
  • Para y=st: é produto de s por constante t, então
\frac{\partial y}{\partial s}=t.

Passo 5

Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial z}{\partial s} = \left(5x^{4}y^{2}+1\right)\cdot(2s\,t) + \left(2x^{5}y\right)\cdot t.
Neste ponto temos uma expressão em termos de x,y,s,t. Para obter uma resposta em termos apenas de s e t, vamos substituir x e y pelas suas expressões em função de s,t.

Passo 6

Substituir x=s^{2}t e y=st e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule potências que aparecerão:
x^{4}=(s^{2}t)^{4}=s^{8}t^{4},\qquad y^{2}=(st)^{2}=s^{2}t^{2},
portanto
x^{4}y^{2}=s^{8}t^{4}\cdot s^{2}t^{2}=s^{10}t^{6}.
Também
x^{5}=(s^{2}t)^{5}=s^{10}t^{5},\qquad x^{5}y=s^{10}t^{5}\cdot st=s^{11}t^{6}.
Agora substituindo na expressão da Regra da Cadeia:
\frac{\partial z}{\partial s} = \bigl(5s^{10}t^{6}+1\bigr)\cdot(2s\,t) + \bigl(2\cdot s^{11}t^{6}\bigr)\cdot t.
Multiplicando e somando termos semelhantes:
\bigl(5s^{10}t^{6}+1\bigr)\cdot(2s\,t)=10s^{11}t^{7}+2s\,t,
e
\bigl(2\cdot s^{11}t^{6}\bigr)\cdot t=2s^{11}t^{7}.
Somando:
\frac{\partial z}{\partial s}=10s^{11}t^{7}+2s^{11}t^{7}+2s\,t=12s^{11}t^{7}+2s\,t.

Passo 7

(Verificação alternativa — procedimento direto) Se preferir, pode-se primeiro escrever z explicitamente em termos de s e t e depois derivar diretamente. Substituindo x e y em z:
z=(s^{2}t)^{5}(st)^{2}+s^{2}t=s^{10}t^{5}\cdot s^{2}t^{2}+s^{2}t=s^{12}t^{7}+s^{2}t.
Derivando em relação a s (com t constante):
\frac{\partial z}{\partial s}=12s^{11}t^{7}+2s\,t,
o mesmo resultado que obtivemos pela Regra da Cadeia — ótimo sinal de consistência.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial s}=12s^{11}t^{7}+2s\,t

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