(Derivada direcional e Regra da cadeia -
pontos) Faça o que se pede.
Se
e
, calcule
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Função
em termos de e :
- Relações de
e em função de e (essas dependências são fornecidas):
- O que pede: calcular
— isto é, a derivada parcial de em relação a , tratando como variável independente (constante ao derivar em relação a ).
Passo 2
Explicando a ferramenta principal que vamos usar: a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
Se
e
,
, então a derivada parcial de
em relação a
é dada por
O que cada símbolo significa:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
é a derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
e são as derivadas parciais das funções e em relação a , tratando como constante.
Raciocínio intuitivo: mudanças em
alteram
e
; a mudança total de
por
é a soma das contribuições vindas da variação de
e da variação de
.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
- Para
: trate como constante. A derivada de em relação a é (use a regra do poder: , e é constante). A derivada de é . Assim,
- Para
: trate como constante. A derivada de em relação a é (regra do poder em , com constante). O termo não depende de , então sua derivada é . Assim,
Passo 4
Calcular
e
a partir das definições
e
, lembrando que
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
- Para
: é constante, então por regra do poder e fator constante,
- Para
: é produto de por constante , então
Passo 5
Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores:
Neste ponto temos uma expressão em termos de
. Para obter uma resposta em termos apenas de
e
, vamos substituir
e
pelas suas expressões em função de
.
Passo 6
Substituir
e
e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule potências que aparecerão:
portanto
Também
Agora substituindo na expressão da Regra da Cadeia:
Multiplicando e somando termos semelhantes:
e
Somando:
Passo 7
(Verificação alternativa — procedimento direto) Se preferir, pode-se primeiro escrever
explicitamente em termos de
e
e depois derivar diretamente. Substituindo
e
em
:
Derivando em relação a
(com
constante):
o mesmo resultado que obtivemos pela Regra da Cadeia — ótimo sinal de consistência.