(Derivada direcional e Regra da cadeia - \mathbf{2 . 5} pontos) Faça o que se pede.
Calcule a derivada direcional de f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} no ponto (-1,1) na direção do vetor \vec{v}=(3,-2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} no ponto (-1,1) na direção do vetor \vec{v}=(3,-2).
Informações dadas:
  • Função: f(x,y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
  • Ponto: (-1,1).
  • Vetor direção (não necessariamente unitário): \vec{v}=(3,-2).
O que é pedido:
  • Calcular a derivada direcional de f em (-1,1) na direção de \vec{v}. Ou seja, encontrar D_{\vec{u}}f(-1,1), onde \vec{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}.

Passo 2

Lembrete do conceito e da fórmula que vou usar (explicadinha):
  • A derivada direcional de f no ponto P=(x_0,y_0) na direção do vetor unitário \vec{u}=(u_1,u_2) é dada por
D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot\vec{u},
onde \nabla f é o gradiente de f.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Explicando por quê: \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f e seu produto escalar com um vetor unitário mede a taxa de variação de f nessa direção. Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicando uma parametrização da reta na direção de \vec{u}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Vou usar a regra da cadeia: escrevo f(x,y)=e^{g(x,y)} com g(x,y)=-\bigl(x^2+y^2\bigr). Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}(x,y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}(x,y).
Agora calculo \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y}:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=-2x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=-2y.
Logo as parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2x\,e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y\,e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(-1,1). Primeiro calculo o expoente:
x^2+y^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1+1=2,
portanto e^{-(x^2+y^2)} em P é e^{-2}.
Agora substituo em cada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}(-1,1) = -2\cdot(-1)\,e^{-2} = 2\,e^{-2},
\frac{\partial f}{\partial y}(-1,1) = -2\cdot(1)\,e^{-2} = -2\,e^{-2}.
Assim
\boxed{\nabla f(-1,1)=\bigl(2e^{-2},\,-2e^{-2}\bigr).}

Passo 5

Construir o vetor unitário \vec{u} na direção de \vec{v}=(3,-2). Primeiro a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Logo o vetor unitário é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\,\frac{-2}{\sqrt{13}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(-1,1)\cdot\vec{u}:
D_{\vec{u}}f(-1,1)=\bigl(2e^{-2},\,-2e^{-2}\bigr)\cdot\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\,\frac{-2}{\sqrt{13}}\right).
Faço o produto componente a componente:
D_{\vec{u}}f(-1,1)=\frac{1}{\sqrt{13}}\bigl(2e^{-2}\cdot 3 + (-2e^{-2})\cdot(-2)\bigr).
Calculo os termos dentro do parêntese:
2e^{-2}\cdot 3 = 6e^{-2}, \qquad (-2e^{-2})\cdot(-2)=4e^{-2}.
Somando:
6e^{-2}+4e^{-2}=10e^{-2}.
Portanto
D_{\vec{u}}f(-1,1)=\frac{10e^{-2}}{\sqrt{13}}.

Passo 7

Observação final e motivação: optei pelo método do gradiente porque é o caminho padrão e mais direto para derivada direcional — evita limites e usa a regra da cadeia nas parciais. Se preferir, dá para parametrizar a reta (x(t),y(t)) = (-1,1)+t\vec{u} e aplicar a regra da cadeia em h(t)=f(x(t),y(t)) e calcular h'(0); o resultado é o mesmo, porque h'(0)=\nabla f(-1,1)\cdot\vec{u}.

Resposta

\dfrac{10\,e^{-2}}{\sqrt{13}}

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