(Derivada direcional e Regra da cadeia -
pontos) Faça o que se pede.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto:
. - Vetor direção (não necessariamente unitário):
.
O que é pedido:
- Calcular a derivada direcional de
em na direção de . Ou seja, encontrar , onde é o vetor unitário na direção de .
Passo 2
Lembrete do conceito e da fórmula que vou usar (explicadinha):
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
.
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais:
Explicando por quê:
aponta na direção de maior crescimento de
e seu produto escalar com um vetor unitário mede a taxa de variação de
nessa direção. Essa fórmula vem da regra da cadeia aplicando uma parametrização da reta na direção de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vou usar a regra da cadeia: escrevo
com
. Então
Agora calculo
e
:
Logo as parciais são
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro calculo o expoente:
portanto
em
é
.
Agora substituo em cada parcial:
Assim
Passo 5
Construir o vetor unitário
na direção de
. Primeiro a norma de
:
Logo o vetor unitário é
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar
:
Faço o produto componente a componente:
Calculo os termos dentro do parêntese:
Somando:
Portanto
Passo 7
Observação final e motivação: optei pelo método do gradiente porque é o caminho padrão e mais direto para derivada direcional — evita limites e usa a regra da cadeia nas parciais. Se preferir, dá para parametrizar a reta
e aplicar a regra da cadeia em
e calcular
; o resultado é o mesmo, porque
.