Questão 5. (10 pontos) Encontre uma função da forma
para decidir a estabilidade do equilibrio
da seguinte EDO. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede: encontrar uma função da forma
que nos ajude a decidir a estabilidade do equilíbrio
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função
deve ser quadrática com coeficientes e . - Para usar métodos de Lyapunov, precisamos analisar a positividade de
(definida positiva perto da origem) e o sinal de sua derivada ao longo das soluções . - O objetivo final é concluir se
é estável, assimptoticamente estável ou instável.
Passo 2
Rápida aula sobre o método de Lyapunov (em linguagem simples).
- Uma função
é chamada positiva definida se e para todo em alguma vizinhança da origem. Para a forma isso equivale a pedir e . - A derivada de
ao longo das trajetórias é . - Critérios úteis:
- Se existir
positiva definida com negativa definida (ou seja, para todo ), então é assintoticamente estável. - Se existir
positiva definida com positiva definida (ou seja, para todo ), então é instável (repulsor local).
Vou usar esses fatos para escolhere e decidir estabilidade.
- Se existir
Passo 3
Calcular
e
. Para
temos
Portanto a derivada de
ao longo do campo é
Vou simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 4
Expandindo os termos em
:
Agora reescrevo de forma útil para análise de sinal. Note que
Usando isso, separo as parcelas:
Logo
Essa forma é muito prática: o primeiro termo é um quadrado vezes
(sempre não-negativo se
); o segundo termo é um múltiplo de
, cujo coeficiente é
.
Passo 5
Escolher
e
visando um sinal definido de
. Queremos
positiva definida, então tomamos
Para que
para todo
(o que implicaria instabilidade), observe a expressão obtida:
- O termo
é se . - Se escolhermos
, isto é, , então o termo é estritamente positivo sempre que .
Come vemos que: - Se
, então , logo . - Se
e , então .
Portanto come resulta para todo . Assim é positiva definida.
- Se
Passo 6
Escolha concreta e conclusão prática. Tomando por exemplo
e
(cumpre
), temos a função
e calculando explicitamente
Para
essa quantidade é estritamente positiva (se
o termo
; se
então
). Como
é positiva definida e
é positiva definida numa vizinhança da origem, o critério de Lyapunov garante que
é instável.
Comentário adicional (intuição): olhando só a equação de
, temos
. Para
pequeno,
aumenta (para
) ou diminui negativamente (para
) afastando-se de zero; portanto a origem é realmente repulsora ao longo do eixo
. Isso confirma a conclusão obtida com
.
Resposta
O equilíbrio