Questão 5. (10 pontos) Encontre uma função da forma V(x, y)=a x^{2}+c y^{2} para decidir a estabilidade do equilibrio (0,0) da seguinte EDO. Justifique sua resposta.
x^{\prime}=x^{3}-4 x y^{2}, \quad y^{\prime}=2 y^{3}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x' = x^{3}-4xy^{2},\qquad y' = 2y^{3},
e pede: encontrar uma função da forma V(x,y)=a x^{2}+c y^{2} que nos ajude a decidir a estabilidade do equilíbrio (0,0).
Informações relevantes:
  • A função V deve ser quadrática com coeficientes a e c.
  • Para usar métodos de Lyapunov, precisamos analisar a positividade de V (definida positiva perto da origem) e o sinal de sua derivada ao longo das soluções \dot V.
  • O objetivo final é concluir se (0,0) é estável, assimptoticamente estável ou instável.

Passo 2

Rápida aula sobre o método de Lyapunov (em linguagem simples).
  • Uma função V(x,y) é chamada positiva definida se V(0,0)=0 e V(x,y)>0 para todo (x,y)\neq(0,0) em alguma vizinhança da origem. Para a forma V=a x^{2}+c y^{2} isso equivale a pedir a>0 e c>0.
  • A derivada de V ao longo das trajetórias é \dot V = \nabla V\cdot (x',y').
  • Critérios úteis:
    • Se existir V positiva definida com \dot V negativa definida (ou seja, \dot V<0 para todo (x,y)\neq(0,0)), então (0,0) é assintoticamente estável.
    • Se existir V positiva definida com \dot V positiva definida (ou seja, \dot V>0 para todo (x,y)\neq(0,0)), então (0,0) é instável (repulsor local).
      Vou usar esses fatos para escolher a e c e decidir estabilidade.

Passo 3

Calcular \nabla V e \dot V. Para V(x,y)=a x^{2}+c y^{2} temos
\frac{\partial V}{\partial x}=2a x,\qquad \frac{\partial V}{\partial y}=2c y.
Portanto a derivada de V ao longo do campo é
\dot V = 2a x\,(x^{3}-4x y^{2}) + 2c y\,(2y^{3}).
Vou simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 4

Expandindo os termos em \dot V:
\dot V = 2a x^{4} - 8a x^{2}y^{2} + 4c y^{4}.
Agora reescrevo de forma útil para análise de sinal. Note que
x^{4}-4x^{2}y^{2}+4y^{4} = (x^{2}-2y^{2})^{2}.
Usando isso, separo as parcelas:
\dot V = 2a(x^{4}-4x^{2}y^{2}+4y^{4}) + (4c-8a)y^{4}.
Logo
\dot V = 2a(x^{2}-2y^{2})^{2} + (4c-8a)y^{4}.
Essa forma é muito prática: o primeiro termo é um quadrado vezes 2a (sempre não-negativo se a>0); o segundo termo é um múltiplo de y^{4}, cujo coeficiente é (4c-8a).

Passo 5

Escolher a e c visando um sinal definido de \dot V. Queremos V positiva definida, então tomamos
a>0,\qquad c>0.
Para que \dot V>0 para todo (x,y)\neq(0,0) (o que implicaria instabilidade), observe a expressão obtida:
\dot V = 2a(x^{2}-2y^{2})^{2} + (4c-8a)y^{4}.
  • O termo 2a(x^{2}-2y^{2})^{2} é \ge 0 se a>0.
  • Se escolhermos 4c-8a>0, isto é, c>2a, então o termo (4c-8a)y^{4} é estritamente positivo sempre que y\neq0.
    Com a>0 e c>2a vemos que:
    • Se y\neq0, então (4c-8a)y^{4}>0, logo \dot V>0.
    • Se y=0 e x\neq0, então \dot V = 2a x^{4} >0.
      Portanto com a>0 e c>2a resulta \dot V>0 para todo (x,y)\neq(0,0). Assim \dot V é positiva definida.

Passo 6

Escolha concreta e conclusão prática. Tomando por exemplo a=1 e c=3 (cumpre c>2a), temos a função
V(x,y)=x^{2}+3y^{2},
e calculando explicitamente
\dot V = 2x^{4}-8x^{2}y^{2}+12y^{4} = 2(x^{2}-2y^{2})^{2}+4y^{4}.
Para (x,y)\neq(0,0) essa quantidade é estritamente positiva (se y\neq0 o termo 4y^{4}>0; se y=0 então 2x^{4}>0). Como V é positiva definida e \dot V é positiva definida numa vizinhança da origem, o critério de Lyapunov garante que (0,0) é instável.
Comentário adicional (intuição): olhando só a equação de y, temos y'=2y^{3}. Para y(0)\neq0 pequeno, y(t) aumenta (para y(0)>0) ou diminui negativamente (para y(0)<0) afastando-se de zero; portanto a origem é realmente repulsora ao longo do eixo y. Isso confirma a conclusão obtida com V.

Resposta

V(x,y)=x^{2}+3y^{2} \
O equilíbrio (0,0) é instável.

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