A derivada de f(x, y) em Po(1,2) na direção de u=i+j é 2 raiz2 e na direção de v=-2 j é -3. Qual é a derivada de f(x, y) na direção w=-i-2 j? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as derivadas direcionais de f em P₀(1,2) nas direções u=(1,1) e v=(0,−2) e pede a derivada direcional em w=(−1,−2). Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional em termos do gradiente ∇f(P₀) e vetores unitários.

Passo 2

A derivada direcional de f em P₀ na direção de um vetor d é dada por D_d f(P₀)=∇f(P₀)· d, onde d=d/||d|| é o vetor unitário associado a d.

Passo 3

Vamos normalizar u e v:

Passo 4

Aplicando as derivadas dadas:
Para u: Df uf=∇f·f u=fx+fyraiz2=2raiz2.
Para v: fx+fy=4. Logo Df vf=∇f·f v=-fy=-3 e fy=3.

Passo 5

Agora normalizamos w e calculamos D_w f:

Resposta

-\tfrac{7}{\sqrt{5}}

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