A derivada de
em
na direção de
é
e na direção de
é -3. Qual é a derivada de
na direção
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as derivadas direcionais de f em P₀(1,2) nas direções u=(1,1) e v=(0,−2) e pede a derivada direcional em w=(−1,−2). Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional em termos do gradiente ∇f(P₀) e vetores unitários.
Passo 2
A derivada direcional de f em P₀ na direção de um vetor d é dada por D_d f(P₀)=∇f(P₀)· d, onde d=d/||d|| é o vetor unitário associado a d.
Passo 3
Vamos normalizar u e v:
Passo 4
Aplicando as derivadas dadas:
Para u: ⇒ .
Para v: ⇒ . Logo
e
.
Para u: ⇒
Para v: ⇒
Passo 5
Agora normalizamos w e calculamos D_w f:
Resposta
-\tfrac{7}{\sqrt{5}}