Suponhamos um sistema coordenado retangular no espaço, tal que a temperatura
no ponto
seja dada por
.
Em que direção, a partir de
, a temperatura
aumenta mais rapidamente?
Em que direção, a partir de
Passo 1
A questão pede a direção em que T(x,y,z)=100/(x²+y²+z²) aumenta mais rápido a partir de um ponto genérico P=(x₀,y₀,z₀). Isso envolve o conteúdo de gradiente de campos escalares e direção de maior crescimento, e para resolver vamos precisar: saber que a direção de máximo aumento de uma função é dada pelo seu vetor gradiente e normalizar esse vetor para obter uma direção (vetor unitário).
Passo 2
Para encontrar a direção de maior crescimento usamos o gradiente. Lembrando que para uma função T(x,y,z), o vetor gradiente é definido por ∇T=(∂T/∂x, ∂T/∂y, ∂T/∂z).
Calculamos as derivadas parciais de T:
Calculamos as derivadas parciais de T:
∂T/∂x = ∂/∂x [100 (x²+y²+z²)⁻¹] = -100·2x·(x²+y²+z²)⁻² = -200x/(x²+y²+z²)²
De modo análogo
∂T/∂y = -200y/(x²+y²+z²)²
∂T/∂z = -200z/(x²+y²+z²)²
De modo análogo
∂T/∂y = -200y/(x²+y²+z²)²
∂T/∂z = -200z/(x²+y²+z²)²
Passo 3
Assim o gradiente é
∇T(x,y,z) = (-200x, -200y, -200z)/(x²+y²+z²)².
Em P=(x₀,y₀,z₀), o gradiente vale
Em P=(x₀,y₀,z₀), o gradiente vale
∇T§ = (-200x₀, -200y₀, -200z₀)/(x₀²+y₀²+z₀²)²
Passo 4
A direção de maior aumento é o gradiente normalizado. O vetor unitário u = ∇T§/||∇T§||. Como ∇T§ é proporcional a (−x₀,−y₀,−z₀), o módulo é
||∇T§|| = 200√(x₀²+y₀²+z₀²)/(x₀²+y₀²+z₀²)² = 200/(x₀²+y₀²+z₀²)^{3/2}
Logo o vetor unitário fica
Logo o vetor unitário fica
u = (−x₀, −y₀, −z₀)/√(x₀²+y₀²+z₀²).
Passo 5
Interpretando geometricamente, a temperatura aumenta mais rapidamente na direção que leva de P em direção à origem do sistema de coordenadas.
Resposta
O vetor unitário que dá a direção de maior crescimento de T em P=(x₀,y₀,z₀) é