A derivada da função f(x)=-x^-3-x^-2+5 x^7+15 x^5+3 x+10 é:
a) f^prime(x)=3 x^-4+2 x^-3+35 x^6+75 x^4+3 x+10
b) f^prime(x)=3 x^-2+2 x^-1+35 x^6+75 x^4+3
c) f^prime(x)=-3 x^-4-2 x^-3+35 x^6+75 x^4+3
d) f^prime(x)=3 x^-4+2 x^-3+35 x^6+75 x^4+3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x^-3 - x^-2 + 5x^7 + 15x^5 + 3x + 10
e pede f'(x). O conteúdo necessário é a regra do poder: para cada termo a x^n,
ddxl(a x^nr) = a n x^n-1,
além da linearidade da derivada (soma e constantes).

Passo 2

Aplicamos a regra do poder termo a termo:
- Para -x^-3:
ddxl(-x^-3r) = -1 cdot (-3)x^-4 = 3x^-4
- Para -x^-2:
ddxl(-x^-2r) = -1 cdot (-2)x^-3 = 2x^-3
- Para 5x^7:
ddxl(5x^7r) = 5 cdot 7x^6 = 35x^6
- Para 15x^5:
ddxl(15x^5r) = 15 cdot 5x^4 = 75x^4
- Para 3x:
ddxl(3xr) = 3
- Para a constante 10:
ddx(10) = 0

Passo 3

Somando todos os resultados, obtemos
f'(x) = 3x^-4 + 2x^-3 + 35x^6 + 75x^4 + 3

Passo 4

Comparando com as opções:
a) tem 3x+10 no final (incorreto),
b) troca sinais dos expoentes negativos (incorreto),
c) mantém sinais negativos nos dois primeiros termos (incorreto),
d) coincide exatamente com
3x^-4 + 2x^-3 + 35x^6 + 75x^4 + 3

Resposta

d) f'(x)=3x^-4+2x^-3+35x^6+75x^4+3

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