Para quais valores de a e b o campo vetorial
F(x, y, z)=(y^2+2 b x z, a x y+b y z, b x^2+y^2)
é um campo conservativo?

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a e b tais que o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr)
com
P = y^2 + 2b,x,z, Q = a,x,y + b,y,z, R = b,x^2 + y^2,
seja conservativo. Como o domínio é R^3, que é simplesmente conexo, basta exigir
nabla times F = 0

Passo 2

Escrevemos as componentes do rotacional usando
nabla times F = l(Ry-Qz,;Pz-Rx,;Qx-Pyr)

Passo 3

Calculamos a primeira componente:
Ry = partialpartial yl(bx^2+y^2r) = 2y, Qz = partialpartial zl(a,x,y + b,y,zr) = b,y
Logo
Ry-Qz = 2y - b,y = y,(2 - b),
que deve ser zero para todo y. Assim
2 - b = 0 Longrightarrow b = 2

Passo 4

Calculamos a terceira componente:
Qx = partialpartial xl(a,x,y + b,y,zr) = a,y, Py = partialpartial yl(y^2 + 2b,x,zr) = 2y
Logo
Qx-Py = a,y - 2y = y,(a - 2),
que deve ser zero para todo y. Assim
a - 2 = 0 Longrightarrow a = 2

Passo 5

Verificamos a segunda componente:
Pz = 2b,x, Rx = 2b,x,
portanto
Pz-Rx = 0
é identicamente satisfeita para qualquer b, sem adicionar restrição extra.

Resposta

Os valores que tornam F conservativo são
a = 2
b = 2

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