Seja f uma função de domínio Df. Tal que:
f(x)= x^2-4 x+3x-3, & se x<3 2, & se x=3 sen(2 x-6)x-3, & se x>3
Verifique se f é contínua em x=3.

Passo 1

O enunciado dá uma função f definida por partes no ponto x=3 e pergunta se ela é contínua em x=3. Para isso, precisamos verificar se o limite de f(x) quando x→3 pela esquerda e pela direita existe, é finito e igual a f(3).

Passo 2

Para o limite pela esquerda, temos f(x)= x^2-4x+3x-3 para x<3. Note que x²−4x+3 fatoriza como (x−1)(x−3), então para x≠3:
x^2-4x+3x-3=(x-1)(x-3)x-3=x-1
Logo, limxto3^-f(x)=limxto3^-(x-1)=2

Passo 3

Para o limite pela direita, temos f(x)= sin(2x-6)x-3 para x>3. Faça a substituição t=x−3, então t→0⁺ e 2x−6=2(x−3)=2t. Assim:
limxto3^+f(x)=limtto0^+sin(2t)t
Usando o limite fundamental limuto0sin(u)u=1, obtemos
limtto0^+sin(2t)t=2limtto0^+sin(2t)2t=2cdot1=2

Passo 4

O valor da função no ponto é f(3)=2. Como limxto3^-f(x)=2, limxto3^+f(x)=2 e f(3)=2, todos coincidem, logo f é contínua em x=3.

Resposta

Sim. A função f é contínua em x=3, pois os limites laterais e o valor no ponto são iguais a 2.

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