Encontre a derivada da função abaixo:
f(x)=raiz[3]4^2 x+3x^2-log 5(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função do tipo raiz cúbica de uma soma de termos, então vamos usar a regra da cadeia, além das derivadas de exponencial, potência e logaritmo. Precisamos de:
• Regra da cadeia para transformar a derivada de f(x)=(u(x))^1/3.
• Derivada de 4^2x, usando que ddxa^x = a^xln a.
• Derivada de 3/x^2, usando a regra da potência para expoentes negativos.
• Derivada de log5(3x), usando mudança de base para natural.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como f(x)=(u(x))^1/3, onde
u(x)=4^2x + 3x^2 - log5(3x)
Isso deixa claro que vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Pela regra da cadeia temos
$$f’(x)=\frac{1}{3}(u(x))^{-2/3} \cdot u’(x).
$$
Agora só falta achar f'(x)=13(u(x))^-2/3 cdot u'(x) .

Passo 4

Derivamos termo a termo:

  1. Logo,
ddx4^2x=4^2xln(4)cdot2=2ln(4),4^2xn2) (ddx3x^2=3ddxx^-2=3(-2)x^-3=-6x^-3n3) (ddxlog5(3x)=1ln(5)ddxln(3x)=1ln(5)cdot1x=1xln(5)

Passo 5

Substituindo u'(x) em f'(x) obtemos
$$f’(x)=\frac{1}{3}\bigl(4{2x}+x{-2}\cdot3 - \log_5(3x)\bigr){-2/3}\bigl(2\ln(4),4{2x} - 6x^{-3} - \tfrac{1}{x\ln(5)}\bigr).
$$

Passo 6

Essa é a expressão final da derivada, combinando cadeia com as derivadas parciais de cada termo de u(x).

Resposta

f'(x)=13l(4^2x+tfrac3x^2-log5(3x)r)^-tfrac23l(2ln(4),4^2x-6x^-3-1xln(5)r)

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