Encontre a derivada da função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função do tipo raiz cúbica de uma soma de termos, então vamos usar a regra da cadeia, além das derivadas de exponencial, potência e logaritmo. Precisamos de:
• Regra da cadeia para transformar a derivada de .
• Derivada de , usando que
.
• Derivada de , usando a regra da potência para expoentes negativos.
• Derivada de , usando mudança de base para natural.
• Regra da cadeia para transformar a derivada de
• Derivada de
• Derivada de
• Derivada de
Passo 2
Reescrevemos
como
, onde
Isso deixa claro que vamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Pela regra da cadeia temos
$$f’(x)=\frac{1}{3}(u(x))^{-2/3} \cdot u’(x).
$$
Agora só falta achar .
Agora só falta achar
Passo 4
Derivamos termo a termo:
Logo,
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
$$f’(x)=\frac{1}{3}\bigl(4{2x}+x{-2}\cdot3 - \log_5(3x)\bigr){-2/3}\bigl(2\ln(4),4{2x} - 6x^{-3} - \tfrac{1}{x\ln(5)}\bigr).
$$
Passo 6
Essa é a expressão final da derivada, combinando cadeia com as derivadas parciais de cada termo de
.