A derivada da função definida por
f(x)=sen(x^5+7) sen(x^5-7)
é qual das opçōes abaixo?
(3) f^prime(x)=25 x^8 cos (x^5+7) cos (x^5-7)
(4) f^prime(x)=(5 x^4+7)(5 x^4-7)[cos (x^5+7) sen(x^5-7)+sen(x^5+7) cos (x^5-7)]
(5) f^prime(x)=cos (x^5+7) sen(x^5-7)+sen(x^5+7) cos (x^5-7)
(6) f^prime(x)=cos (5 x^4) sen(x^5-7)+sen(x^5-7) cos (5 x^4)
(7) f^prime(x)=5 x^4 sen(2 x^5)

Passo 1

O exercício pede para derivar a função f(x)=sen(x⁵+7)·sen(x⁵−7), usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra do produto: f′(x)=[d/dx sen(x⁵+7)]·sen(x⁵-7)+sen(x⁵+7)·[d/dx sen(x⁵−7)].

Passo 3

Para cada derivada de sen(u) usamos regra da cadeia: d/dx sen(u)=cos(u)·u′. Aqui u=x⁵±7 ⇒ u′=5x⁴. Logo f′(x)=5x⁴ cos(x⁵+7)·sen(x⁵−7)+5x⁴ sen(x⁵+7)·cos(x⁵−7).

Passo 4

Fatorizando 5x⁴ e usando a identidade sen(a+b)=sen a·cos b+cos a·sen b com a=x⁵+7 e b=x⁵−7, temos a+b=2x⁵. Assim f′(x)=5x⁴ sen(2x⁵), que é exatamente a opção (7).

Resposta

5x4\operatorname{sen}(2x5)

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