A derivada da função definida por
é qual das opçōes abaixo?
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Passo 1
O exercício pede para derivar a função f(x)=sen(x⁵+7)·sen(x⁵−7), usando regra do produto e regra da cadeia.
Passo 2
Pela regra do produto: f′(x)=[d/dx sen(x⁵+7)]·sen(x⁵-7)+sen(x⁵+7)·[d/dx sen(x⁵−7)].
Passo 3
Para cada derivada de sen(u) usamos regra da cadeia: d/dx sen(u)=cos(u)·u′. Aqui u=x⁵±7 ⇒ u′=5x⁴. Logo f′(x)=5x⁴ cos(x⁵+7)·sen(x⁵−7)+5x⁴ sen(x⁵+7)·cos(x⁵−7).
Passo 4
Fatorizando 5x⁴ e usando a identidade sen(a+b)=sen a·cos b+cos a·sen b com a=x⁵+7 e b=x⁵−7, temos a+b=2x⁵. Assim f′(x)=5x⁴ sen(2x⁵), que é exatamente a opção (7).
Resposta
5x4\operatorname{sen}(2x5)