Sejam psin(x)=cos (n pi xL), n=0,1,2, ldots e phin(x)=sen(n pi xL), n=1,2, ldots mostre que os coeficientes de Fourier podem ser escritos por an=lang<= f, psinrang<=lang<=psin, psinrang<=, n=0,1,2, ldots e bn=.

Passo 1

Este exercício pede para mostrar que os coeficientes da série de Fourier na base psin(x)=cos(tfracnpi xL),,n=0,1,2,dots e phin(x)=sin(tfracnpi xL),,n=1,2,dots podem ser obtidos por projeção no espaço L^2[0,L]. Vamos usar conceitos de produto interno e ortogonalidade para chegar às fórmulas de an e bn.

Passo 2

Em L^2[0,L] definimos o produto interno como
lang<= f,grang<= = integral0^L f(x),g(x),dx
As funções psin e phin são ortogonais entre si, isto é, para nneq m:
lang<= psin,psimrang<= = 0, lang<= phin,phimrang<= = 0, lang<= psin,phimrang<= = 0

Passo 3

Supondo que f(x) admita expansão em série de Fourier nessa base, escrevemos
f(x) = sumn=0^infty an,psin(x) + sumn=1^infty bn,phin(x)

Passo 4

Para determinar am, multiplicamos ambos os lados por psim(x) e integramos em [0,L]:
lang<= f,psimrang<= = sumn=0^infty an,lang<= psin,psimrang<= + sumn=1^infty bn,lang<= phin,psimrang<=
Pela ortogonalidade só resta o termo n=m na soma em psin, logo
lang<= f,psimrang<= = am,lang<= psim,psimrang<=

Passo 5

Isolando am obtemos
am = lang<= f,psimrang<=lang<= psim,psimrang<=, m=0,1,2,dots
De modo totalmente análogo, multiplicamos a expansão original por phim(x), integramos e usamos ortogonalidade para chegar a
bm = lang<= f,phimrang<=lang<= phim,phimrang<=, m=1,2,dots .

Resposta

an = lang<= f,psinrang<=lang<= psin,psinrang<=, n=0,1,2,dots
bn = lang<= f,phinrang<=lang<= phin,phinrang<=, n=1,2,dots

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