Sejam
e
mostre que os coeficientes de Fourier podem ser escritos por
e
.
Passo 1
Este exercício pede para mostrar que os coeficientes da série de Fourier na base
e
podem ser obtidos por projeção no espaço
. Vamos usar conceitos de produto interno e ortogonalidade para chegar às fórmulas de
e
.
Passo 2
Em
definimos o produto interno como
As funções
e
são ortogonais entre si, isto é, para
:
Passo 3
Supondo que
admita expansão em série de Fourier nessa base, escrevemos
Passo 4
Para determinar
, multiplicamos ambos os lados por
e integramos em
:
Pela ortogonalidade só resta o termo
na soma em
, logo
Passo 5
Isolando
obtemos
De modo totalmente análogo, multiplicamos a expansão original por
, integramos e usamos ortogonalidade para chegar a