Estude com relação a máximos e mínimos locais e a pontos de sela a função f(x, y, z)=
x^3+2 x y+y^2+z^2-5 x-4 z,

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a função f(x,y,z)=x^3+2xy+y^2+z^2-5x-4z em relação a pontos críticos, classificando-os em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo é cálculo multivariável, e vamos precisar achar derivadas parciais, resolver o sistema igualando-as a zero e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada a zero e resolvemos o sistema:
3x^2+2y-5=0, 2x+2y=0, 2z-4=0
Da terceira equação vem z=2. Da segunda, y=-x. Substituindo em 3x^2+2y-5=0 dá:
3x^2+2(-x)-5=0
3x^2-2x-5=0
As raízes são x=5/3 e x=-1, com y=-5/3 e y=1 respectivamente. Logo há dois pontos críticos:
(5/3,-5/3,2)e(-1,1,2)

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana, que reúne as segundas derivadas de f:
H(x,y,z)= 6x & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2
A teoria diz: se H for definida positiva num ponto, temos mínimo local; definida negativa, máximo local; indefinida, ponto de sela.

Passo 5

Finalmente, avaliamos H em cada ponto:
No ponto (5/3,-5/3,2):
H=10 & 2 &02&2&00&0&2
Seus menores principais são 10>0, 10cdot2-2^2=16>0 e det H=32>0, logo H é definida positiva e temos um mínimo local.
No ponto (-1,1,2):
H=-6 & 2 &02&2&00&0&2
Aqui o primeiro menor -6<0 e o segundo -16<0, caracterizando H indefinida, logo ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (5/3,−5/3,2), que é um mínimo local, e (−1,1,2), que é um ponto de sela. Não há máximo local.

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