Estude com relação a máximos e mínimos locais e a pontos de sela a função ,
Passo 1
O enunciado pede pra estudar a função em relação a pontos críticos, classificando-os em máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo é cálculo multivariável, e vamos precisar achar derivadas parciais, resolver o sistema igualando-as a zero e usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de :
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada a zero e resolvemos o sistema:
Da terceira equação vem . Da segunda, . Substituindo em dá:
As raízes são e , com e respectivamente. Logo há dois pontos críticos:
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana, que reúne as segundas derivadas de :
A teoria diz: se H for definida positiva num ponto, temos mínimo local; definida negativa, máximo local; indefinida, ponto de sela.
Passo 5
Finalmente, avaliamos H em cada ponto:
No ponto (5/3,-5/3,2):
H=10 & 2 &02&2&00&0&2
Seus menores principais são 10>0, 10cdot2-2^2=16>0 e det H=32>0, logo H é definida positiva e temos um mínimo local.
No ponto (-1,1,2):
H=-6 & 2 &02&2&00&0&2
Aqui o primeiro menor -6<0 e o segundo -16<0, caracterizando H indefinida, logo ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são (5/3,−5/3,2), que é um mínimo local, e (−1,1,2), que é um ponto de sela. Não há máximo local.