En los ejercicios 1-10 se da una región R en el plano. Escriba los límites de las integrales iteradas con las que se calcula la integral doble integral duplaR f(x, y) d x d y, donde f(x, y) es una función continua en la región R. En todos los casos, la integral doble se puede calcular con una integral iterada, viendo que R convenga, como una región del tipo (I) o del tipo (II). En caso de que R se pueda ver como una región de ambos tipos, escriba las dos expresiones correspondientes de las integrales iteradas
R es la región triangular limitada por los ejes coordenados y la recta y=4-3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região triangular no plano, limitada pelos eixos coordenados e e pela reta . Nosso objetivo é escrever os limites para uma integral dupla de duas maneiras diferentes, dependendo de como a gente escolhe integrar primeiro em ou em . Para isso, vamos precisar entender como descrever essa região de duas formas: uma onde varia primeiro e outra onde varia primeiro.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região triangular para visualizar melhor. Sabemos que os limites são os eixos e e a reta .
  • A interseção da reta com o eixo é quando : .
  • A interseção com o eixo é quando : .
Então, os vértices do triângulo são , e .

Passo 3

Agora, vamos pensar em duas formas de descrever integral0^43 integral0^4 - 3x f(x, y) , dy , dx :
Forma 1: Integração em y = 4 - 3x Rightarrow 3x = 4 - y Rightarrow x = 4 - y3 primeiro, depois em integral0^4 integral0^4 - y3 f(x, y) , dx , dy (Tipo I).
Aqui, para cada valor de , varia de 0 até a reta . E varia de 0 até .
Então, os limites ficam:
Forma 2: Integração em primeiro, depois em (Tipo II).
Agora, para cada valor de , varia de 0 até onde a reta é reescrita para . Resolvendo para :
E varia de 0 até 4.
Então, os limites ficam:

Resposta

As integrais iteradas que calculam integral0^43 integral0^4 - 3x f(x, y) , dy , dx são:
  1. Integrando primeiro em integral0^4 integral0^4 - y3 f(x, y) , dx , dy :
  1. Integrando primeiro em :

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