En los ejercicios 1-10 se da una región
en el plano. Escriba los límites de las integrales iteradas con las que se calcula la integral doble
, donde
es una función continua en la región
. En todos los casos, la integral doble se puede calcular con una integral iterada, viendo que
convenga, como una región del tipo (I) o del tipo (II). En caso de que
se pueda ver como una región de ambos tipos, escriba las dos expresiones correspondientes de las integrales iteradas
es la región triangular limitada por los ejes coordenados y la recta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região triangular
no plano, limitada pelos eixos coordenados
e
e pela reta
. Nosso objetivo é escrever os limites para uma integral dupla
de duas maneiras diferentes, dependendo de como a gente escolhe integrar primeiro em
ou em
. Para isso, vamos precisar entender como descrever essa região
de duas formas: uma onde
varia primeiro e outra onde
varia primeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região triangular
para visualizar melhor. Sabemos que os limites são os eixos
e
e a reta
.
- A interseção da reta
com o eixo é quando : . - A interseção com o eixo
é quando : ⇒ .
Então, os vértices do triângulo são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar em duas formas de descrever
:
Forma 1: Integração em
primeiro, depois em
(Tipo I).
Aqui, para cada valor de
,
varia de 0 até a reta
. E
varia de 0 até
.
Então, os limites ficam:
Forma 2: Integração em
primeiro, depois em
(Tipo II).
Agora, para cada valor de
,
varia de 0 até onde a reta
é reescrita para
. Resolvendo para
:
E
varia de 0 até 4.
Então, os limites ficam:
Resposta
As integrais iteradas que calculam
são:
- Integrando primeiro em
:
- Integrando primeiro em
: