Qual é a derivada da função \mathrm{y}=\cos (\mathrm{x} \cdot \operatorname{sen} \mathrm{x}) ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \cos\bigl(x \cdot \operatorname{sen} x\bigr).
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia (para a composição \cos(u(x))) e, dentro dela, a regra do produto (para u(x)=x\operatorname{sen} x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x \operatorname{sen} x.
Aplicando a regra do produto:
u'(x) = (x)' \cdot \operatorname{sen} x + x \cdot (\operatorname{sen} x)' = 1\cdot \operatorname{sen} x + x\cdot \cos x = \operatorname{sen} x + x\cos x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia à função externa \cos(u):
\frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr) = -\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 4

Substituindo u(x)=x\operatorname{sen} x e u'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x, obtemos
y' = -\operatorname{sen}\bigl(x\operatorname{sen} x\bigr)\,\bigl(\operatorname{sen} x + x\cos x\bigr).

Resposta

y' = -\bigl(\operatorname{sen} x + x\cos x\bigr)\,\operatorname{sen}\bigl(x\operatorname{sen} x\bigr).

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