A derivada de uma função racional é uma função racional.

Passo 1

O enunciado diz que queremos mostrar que a derivada de uma função racional é ela própria uma função racional. O conteúdo que vamos usar é a definição de função racional (quociente de polinômios) e a regra do quociente na diferenciação.

Passo 2

Por definição, uma função racional é
f(x)=P(x)Q(x),
onde P(x) e Q(x) são polinômios e Q(x)neq0 no domínio considerado.

Passo 3

Para derivar f(x) usamos a regra do quociente, que diz:
f'(x) =P'(x),Q(x)-P(x),Q'(x)l(Q(x)r)^2

Passo 4

Repare que
  1. P'(x) e Q'(x) são polinômios (derivada de polinômio é polinômio).
  2. O produto e a soma (ou diferença) de polinômios resultam em polinômios.
  3. l(Q(x)r)^2 é um polinômio.
Logo o numerador P'(x),Q(x)-P(x),Q'(x) é um polinômio e o denominador l(Q(x)r)^2 também é um polinômio, o que faz de f'(x) o quociente de dois polinômios, ou seja, outra função racional.

Resposta

Sim. A derivada de uma função racional é uma função racional, pois pela regra do quociente obtemos um quociente entre polinômios.

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