A derivada de uma função racional é uma função racional.
Passo 1
O enunciado diz que queremos mostrar que a derivada de uma função racional é ela própria uma função racional. O conteúdo que vamos usar é a definição de função racional (quociente de polinômios) e a regra do quociente na diferenciação.
Passo 2
Por definição, uma função racional é
onde
e
são polinômios e
no domínio considerado.
Passo 3
Para derivar
usamos a regra do quociente, que diz:
Passo 4
Repare que
-
e são polinômios (derivada de polinômio é polinômio). - O produto e a soma (ou diferença) de polinômios resultam em polinômios.
-
é um polinômio.
Logo o numerador
é um polinômio e o denominador
também é um polinômio, o que faz de
o quociente de dois polinômios, ou seja, outra função racional.
Resposta
Sim. A derivada de uma função racional é uma função racional, pois pela regra do quociente obtemos um quociente entre polinômios.