Determine valores de s (se houver) para os quais as seguintes integrais impróprias são convergentes:
integral0^infty x e^-s x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de s a integral imprópria
integral0^infty x,e^-s x,dx
é convergente. O conteúdo aqui envolve testes de convergência de integrais impróprias no infinito e análise do comportamento em x=0.

Passo 2

Analisamos o comportamento quando xtoinfty. Se s>0, o fator e^-s x decai exponencialmente, dominando o crescimento linear de x, o que sugere convergência. Se s<= 0, então e^-s x não decai (fica constante para s=0 ou cresce para s<0), e portanto
x,e^-s xsim x(ou maior),
o que faz a integral divergir.

Passo 3

Analisamos agora o comportamento em xto 0^+. Como
x,e^-s xsim x(pois e^-s xto1),
a integral integral0^ax,dx é convergente para qualquer valor de s. Logo, não há restrição vinda de 0.

Passo 4

Combinando as duas análises, a condição necessária e suficiente para convergência é
s>0

Resposta

A integral converge exatamente para s>0.

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