Determine valores de
(se houver) para os quais as seguintes integrais impróprias são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de
a integral imprópria
é convergente. O conteúdo aqui envolve testes de convergência de integrais impróprias no infinito e análise do comportamento em
.
Passo 2
Analisamos o comportamento quando
. Se
, o fator
decai exponencialmente, dominando o crescimento linear de
, o que sugere convergência. Se
, então
não decai (fica constante para
ou cresce para
), e portanto
o que faz a integral divergir.
Passo 3
Analisamos agora o comportamento em
. Como
a integral
é convergente para qualquer valor de
. Logo, não há restrição vinda de 0.
Passo 4
Combinando as duas análises, a condição necessária e suficiente para convergência é
Resposta
A integral converge exatamente para
.