Determine as derivadas parciais de segunda ordem (fx x, fx y e fy y).
a) f(x, y)=x^3 y^5+2 x^4 y
b) f(x, y)=sen^2(m x+n y)
c) f(x, y)=raizx^2+y^2
d) f(x, y)=x yx-y
e) f(x, y)=arctg(x+y1-x y)
f) f(x, y)=e^x e^y

Passo 1

O enunciado pede para cada função f(x,y) encontrarmos as segundas derivadas parciais
fxx=partial^2 fpartial x^2,
fxy=partial^2 fpartial x,partial y e
fyy=partial^2 fpartial y^2.
Vamos usar as regras de derivação: produto, quociente e cadeia, conforme o caso.

Passo 2

Para
f(x,y)=x^3y^5+2x^4y
temos primeiro as derivadas de primeira ordem:
fx=3x^2y^5+8x^3y, fy=5x^3y^4+2x^4
Agora as de segunda ordem:
fxx=partialpartial x(3x^2y^5+8x^3y) =6x y^5+24x^2y,
fxy=partialpartial y(3x^2y^5+8x^3y) =15x^2y^4+8x^3,
fyy=partialpartial y(5x^3y^4+2x^4) =20x^3y^3

Passo 3

Para
f(x,y)=sin^2(mx+ny)
defina u=mx+ny. Então
fx=2sin(u)cos(u),m=msin(2u), fy=nsin(2u)
Derivando de novo:
fxx=2m^2cos(2u), fxy=2mncos(2u), fyy=2n^2cos(2u)

Passo 4

Para
f(x,y)=raizx^2+y^2,
escreva r=raizx^2+y^2. Então
fx=xr, fy=yr
As segundas derivadas são
fxx=y^2r^3, fxy=-x,yr^3, fyy=x^2r^3

Passo 5

Para
f(x,y)=x,yx-y
use a regra do quociente. Chamando g=xy e h=x-y,
fx=-y^2(x-y)^2, fy=x^2(x-y)^2
Derivando de novo:
fxx=2,y^2(x-y)^3, fxy=-2y(x-y)^2+2,y^2(x-y)^3, fyy=2,x^2(x-y)^3

Passo 6

Para
f(x,y)=arctan!gl(x+y1-xygr)
ponha
v=x+y1-xy, f=arctan(v)
Calcula-se
vx=1+y^2(1-xy)^2, vy=1+x^2(1-xy)^2,
fx=vx1+v^2, fy=vy1+v^2
Em seguida, usando
fxx=vxx(1+v^2)-2v,vx^2(1+v^2)^2, fxy=vxy(1+v^2)-2v,vxvy(1+v^2)^2, fyy=vyy(1+v^2)-2v,vy^2(1+v^2)^2,
com
vxx=2y,1+y^2(1-xy)^3, vxy= 2y(1-xy)^3+2x(1+y^2)(1-xy)^3, vyy=2x,1+x^2(1-xy)^3

Passo 7

Para
f(x,y)=e^,x,e^y
defina u=x,e^y. Então
fx=e^ucdot e^y, fy=e^ucdot x,e^y
Derivando de novo:
fxx=e^u,(e^y)^2, fxy=e^u,e^y,(1+x,e^y), fyy=e^ul(x,e^yr)^2+e^u,x,e^y

Resposta

a)
fxx=6x y^5+24x^2y, fxy=15x^2y^4+8x^3, fyy=20x^3y^3
b)
fxx=2m^2cosl(2(mx+ny)r),; fxy=2mncosl(2(mx+ny)r),; fyy=2n^2cosl(2(mx+ny)r)
c)
fxx=y^2(x^2+y^2)^3/2,; fxy=-xy(x^2+y^2)^3/2,; fyy=x^2(x^2+y^2)^3/2
d)
fxx=2y^2(x-y)^3,; fxy=-2y(x-y)^2+2y^2(x-y)^3,; fyy=2x^2(x-y)^3
e) Definindo v=(x+y)/(1-xy):
fx=vx1+v^2,; fy=vy1+v^2
com vx=(1+y^2)/(1-xy)^2, vy=(1+x^2)/(1-xy)^2 e
fxx=vxx(1+v^2)-2v,vx^2(1+v^2)^2,; fxy=vxy(1+v^2)-2v,vxvy(1+v^2)^2,; fyy=vyy(1+v^2)-2v,vy^2(1+v^2)^2
f)
fxx=e^x e^y(e^y)^2,; fxy=e^x e^y,e^y,(1+x,e^y),; fyy=e^x e^yl((x,e^y)^2+x,e^yr)

Exercícios relacionados