Derivada da função secante:
f(x)=\operatorname{sec} (u) \quad f^{\prime}(x)=\operatorname{sec} (u) \cdot \tan (u) \cdot u^{\prime}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se: calcular a derivada de f quando f(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr). Ou seja, encontrar f'(x).
  • Dados relevantes: f(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr). Aqui u é uma função de x (ou seja, u=u(x)) e assumimos que u é diferenciável (tem derivada u'(x)).
  • O objetivo explícito: mostrar que
f'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 2

Entendendo as funções envolvidas e notações (pequena aula).
  • A função \operatorname{sec} é definida como
\operatorname{sec}(t)=\frac{1}{\cos(t)}.
Isso significa que \operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)=\dfrac{1}{\cos\bigl(u(x)\bigr)}.
  • A função \tan é definida como
\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}.
  • Notação: u'(x) é a derivada da função u em relação a x. Nosso objetivo é expressar f'(x) em termos de \operatorname{sec}, \tan e u'(x).

Passo 3

Escolhendo um método simples para derivar: usar a representação como recíproco.
  • Como \operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)=\dfrac{1}{\cos\bigl(u(x)\bigr)}, é conveniente usar a regra da derivada do recíproco: se g(x)=\dfrac{1}{h(x)} e h é diferenciável, então
g'(x) = -\frac{h'(x)}{h(x)^2}.
  • Justificativa curta dessa regra: é a aplicação da regra do produto/chain (ou da regra do poder com h(x)^{-1}): \dfrac{d}{dx}h(x)^{-1} = -1\cdot h(x)^{-2}\cdot h'(x).

Passo 4

Aplicando a regra do recíproco ao nosso f. Defina
h(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr),
então
f(x)=\frac{1}{h(x)}.
Pela regra do recíproco,
f'(x) = -\frac{h'(x)}{h(x)^2}.

Passo 5

Calcular h'(x) (pequena aula sobre derivada de \cos e a regra da cadeia).
  • Sabemos que, em termos de uma variável t,
\frac{d}{dt}\cos(t) = -\sin(t).
Isto é uma derivada padrão (pode-se justificar por limites, mas aqui tomamos como fato conhecido).
  • Como h(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr) é uma composição de \cos com u(x), usamos a regra da cadeia: a derivada da composição \cos(u(x)) é a derivada de \cos em u(x) multiplicada por u'(x). Ou seja,
h'(x) = \frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 6

Substituir h(x) e h'(x) em f'(x) = -\dfrac{h'(x)}{h(x)^2} e simplificar passo a passo.
  • Primeiro substituindo,
f'(x) = -\frac{-\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)}{\bigl(\cos\bigl(u(x)\bigr)\bigr)^2}.
  • O duplo negativo vira positivo:
f'(x) = \frac{\sin\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)}{\cos^2\bigl(u(x)\bigr)}.
  • Agora use as definições \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)} e \tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}. Reescrevendo a fração,
\frac{\sin\bigl(u(x)\bigr)}{\cos^2\bigl(u(x)\bigr)} = \frac{1}{\cos\bigl(u(x)\bigr)}\cdot\frac{\sin\bigl(u(x)\bigr)}{\cos\bigl(u(x)\bigr)} = \operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\tan\bigl(u(x)\bigr).
  • Portanto,
f'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (aplicação direta na prova).
  • Se u(x)=x então u'(x)=1 e obtemos a forma clássica
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
  • Se u(x)=3x então u'(x)=3 e
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(3x)=3\operatorname{sec}(3x)\tan(3x).
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula rapidamente em exercícios de prova.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\tan\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x)

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