Derivada da função secante:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se: calcular a derivada de
quando . Ou seja, encontrar . - Dados relevantes:
. Aqui é uma função de (ou seja, ) e assumimos que é diferenciável (tem derivada ). - O objetivo explícito: mostrar que
Passo 2
Entendendo as funções envolvidas e notações (pequena aula).
- A função
é definida como
Isso significa que
.
- A função
é definida como
- Notação:
é a derivada da função em relação a . Nosso objetivo é expressar em termos de , e .
Passo 3
Escolhendo um método simples para derivar: usar a representação como recíproco.
- Como
, é conveniente usar a regra da derivada do recíproco: se e é diferenciável, então
- Justificativa curta dessa regra: é a aplicação da regra do produto/chain (ou da regra do poder com
): .
Passo 4
Aplicando a regra do recíproco ao nosso
. Defina
então
Pela regra do recíproco,
Passo 5
Calcular
(pequena aula sobre derivada de
e a regra da cadeia).
- Sabemos que, em termos de uma variável
,
Isto é uma derivada padrão (pode-se justificar por limites, mas aqui tomamos como fato conhecido).
- Como
é uma composição de com , usamos a regra da cadeia: a derivada da composição é a derivada de em multiplicada por . Ou seja,
Passo 6
Substituir
e
em
e simplificar passo a passo.
- Primeiro substituindo,
- O duplo negativo vira positivo:
- Agora use as definições
e . Reescrevendo a fração,
- Portanto,
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (aplicação direta na prova).
- Se
então e obtemos a forma clássica
- Se
então e
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula rapidamente em exercícios de prova.