A derivada da função \sin (x) é \cos (x) e a derivada da função \cos (x) é -\sin (x), de modo que se f(x)=\sin (x), f^{\prime}(x)=\cos (x) e f^{\prime \prime}(x)=-\sin (x). Escreva as série de Taylor T_{0, \infty} e T_{\pi / 2, \infty} para a função \sin (x) em torno do ponto a=0\left(0^{\circ}\right) e do ponto a=\pi / 2\left(90^{\circ}\right). Mostre os resultados pelo menos até os primeiros cinco termos.

Passo 1

O enunciado pede as séries de Taylor de \sin(x) em torno de a=0 e de a=\pi/2. Vamos usar a definição
T_{a,\infty}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
aplicando-a a f(x)=\sin(x), calculando as derivadas em 0 e em \pi/2.

Passo 2

Série de Maclaurin ( a=0). As derivadas em 0 são
\sin(0)=0, \cos(0)=1, -\sin(0)=0, -\cos(0)=-1, \sin(0)=0, \cos(0)=1, \dots.
Logo
T_{0,\infty}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
Os primeiros cinco termos são
x \;-\;\frac{x^3}{3!}\;+\;\frac{x^5}{5!}\;-\;\frac{x^7}{7!}\;+\;\frac{x^9}{9!}+\cdots

Passo 3

Série em torno de a=\pi/2. Ponha h=x-\tfrac{\pi}{2}. Então
\sin(x)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}+h\bigr)=\cos(h).
As derivadas de \cos(h) em h=0 são
\cos(0)=1, -\sin(0)=0, -\cos(0)=-1, \sin(0)=0, \cos(0)=1, \dots.
Assim
T_{\pi/2,\infty}(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,(x-\tfrac{\pi}{2})^{2k}.
Os primeiros cinco termos não nulos são
1\;-\;\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})^2}{2!}\;+\;\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})^4}{4!}\;-\;\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})^6}{6!}\;+\;\frac{(x-\tfrac{\pi}{2})^8}{8!}+\cdots

Resposta

T_{0,\infty}(x)=x-\tfrac{x^3}{3!}+\tfrac{x^5}{5!}-\tfrac{x^7}{7!}+\tfrac{x^9}{9!}+\cdots
T_{\pi/2,\infty}(x)=1-\tfrac{(x-\tfrac{\pi}{2})^2}{2!}+\tfrac{(x-\tfrac{\pi}{2})^4}{4!}-\tfrac{(x-\tfrac{\pi}{2})^6}{6!}+\tfrac{(x-\tfrac{\pi}{2})^8}{8!}+\cdots

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