Calcule os valores da função exponencial para x=-0,5 e para x=-1,5. Calcule os valores da aproximação por Taylor desenvolvida no item anterior para os mesmos pontos utilizando 3 termos (isto é, T_{-1,3}(-0,5) e T_{-1,3}(-1,5) ). Quais os erros percentuais E \%=(f(x)-T(x)) / f(x) \times 100 \% entre os valores da função e os valores da série nos dois pontos? Você deve encontrar erros percentuais da ordem de 1,4 \% e 3,0 \%, respectivamente).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função f(x)=e^x em torno de a=-1 usando o polinômio de Taylor de terceira ordem (3 termos, i.e., até grau 2) e, em seguida, comparar os valores exatos
\;f(-0,5) e \;f(-1,5)
com as aproximações
\;T_{-1,3}(-0,5) e \;T_{-1,3}(-1,5),
calculando o erro percentual
E\%=\frac{f(x)-T(x)}{f(x)}\times100\%.
O conteúdo principal é a série de Taylor para e^x.

Passo 2

Derivadas de f(x)=e^x em x=-1:
f(-1)=e^{-1},\quad f'(-1)=e^{-1},\quad f''(-1)=e^{-1}.
O polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=-1 (3 termos) é
T_{-1,3}(x) =\sum_{n=0}^{2}\frac{f^{(n)}(-1)}{n!}(x+1)^n =e^{-1}\Bigl(1+(x+1)+\tfrac{(x+1)^2}{2}\Bigr).

Passo 3

Para x=-0,5 temos x+1=0,5:
f(-0,5)=e^{-0,5}\approx0,60653066,
T_{-1,3}(-0,5) =e^{-1}\bigl(1+0,5+\tfrac{0,5^2}{2}\bigr) =e^{-1}\cdot1,625 \approx0,59780409.
Logo o erro percentual é
E\%=\frac{0,60653066-0,59780409}{0,60653066}\times100\% \approx1,44\%.

Passo 4

Para x=-1,5 temos x+1=-0,5:
f(-1,5)=e^{-1,5}\approx0,22313016,
T_{-1,3}(-1,5) =e^{-1}\bigl(1-0,5+\tfrac{(-0,5)^2}{2}\bigr) =e^{-1}\cdot0,625 \approx0,22992465.
O erro percentual é
E\%=\frac{0,22313016-0,22992465}{0,22313016}\times100\% \approx-3,05\%,
cujo valor absoluto é cerca de 3{,}0\%.

Resposta

Erro percentual em x=-0,5: aproximadamente 1{,}4\%.
Erro percentual em x=-1,5: aproximadamente 3{,}0\%.

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