Escreva a série de Taylor para aproximar a função exponencial em torno do ponto a=-1. Mostre pelo menos os quatro primeiros termos

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^x em torno de a=-1. Vamos usar a definição de série de Taylor centrada em a:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f. Como
f(x)=e^x,
temos para todo n\ge0
f^{(n)}(x)=e^x,
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f^{(n)}(-1)=e^{-1}.

Passo 3

Substituindo na fórmula geral da série de Taylor com a=-1, obtemos
e^x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-1}}{n!}(x-(-1))^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{-1}}{n!}(x+1)^n.

Passo 4

Os quatro primeiros termos (de n=0 a n=3) são:
e^x =e^{-1}\Bigl( \underbrace{1}_{n=0} +\underbrace{(x+1)}_{n=1} +\underbrace{\frac{(x+1)^2}{2!}}_{n=2} +\underbrace{\frac{(x+1)^3}{3!}}_{n=3} +\cdots\Bigr).

Resposta

e^x =e^{-1}\Bigl(1+(x+1)+\tfrac{(x+1)^2}{2!}+\tfrac{(x+1)^3}{3!}+\cdots\Bigr).

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