A derivada da função trabalho (W) em relação ao tempo (t) é a função potência §. Ou seja,
P=\frac{d W}{d t}
De onde concluímos que \mathrm{dW}=\mathrm{P} \cdot \mathrm{dt} e, por conseguinte, \mathbf{W}=\int \mathbf{P}(\mathbf{t}) \cdot \mathbf{d t}
Considere N número de letras de seu primeiro nome e \mathrm{k}=(-1)^{\mathrm{N}}.
Se o trabalho em certa situação for \sqrt{\boldsymbol{k} \boldsymbol{t}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{N}}, encontre a função potência.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Foi dada a relação entre trabalho W e potência P: P=\frac{dW}{dt}.
  • Define-se N como o número de letras do seu primeiro nome e k = (-1)^{N}.
  • O trabalho é dado por W(t)=\sqrt{k\,t^{2}+N}.
  • O que se pede: encontrar a função potência P(t), ou seja, calcular \dfrac{dW}{dt}.

Passo 2

Vamos escolher o método de diferenciação direta usando a regra da cadeia, porque W(t) é uma composição: uma raiz quadrada aplicada a uma função interna u(t)=k\,t^{2}+N. A regra da cadeia diz:
\text{se } W(t)=f(u(t)) \text{ então } \frac{dW}{dt}=f'(u(t))\cdot u'(t).ã
Aqui f(u)=u^{1/2}. Vou explicar detalhe por detalhe:
  • Derivada de f(u)=u^{1/2} em relação a u é f'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. Isto vem da regra de potência: \dfrac{d}{du}u^{\alpha}=\alpha u^{\alpha-1}.
  • A função interna é u(t)=k\,t^{2}+N. Como k e N são constantes (dependem de N fixo, não de t), a derivada de u em relação a t é u'(t)=\dfrac{d}{dt}(k\,t^{2}+N)=2k\,t. Aqui usei que \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t e que constantes multiplicam.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia passo a passo:
  • Escrevo W(t)=(k\,t^{2}+N)^{1/2}.
  • Pelo que vimos,
\frac{dW}{dt}=\frac{1}{2}(k\,t^{2}+N)^{-1/2}\cdot(2k\,t).
  • Simplifico o fator \dfrac{1}{2} com 2:
\frac{dW}{dt}=k\,t\,(k\,t^{2}+N)^{-1/2}.
  • Voltando à escrita com raiz quadrada,
\frac{dW}{dt}=\frac{k\,t}{\sqrt{k\,t^{2}+N}}.

Passo 4

Podemos substituir k=(-1)^{N} se quiseres a forma com N explícito:
P(t)=\frac{(-1)^{N}\,t}{\sqrt{(-1)^{N}\,t^{2}+N}}.
Observação importante sobre domínio (pra garantir que a raiz seja real):
  • Se k=1 (isto é, N par), então o radicando é t^{2}+N\ge N>0 para todo t, portanto a expressão está definida para todo t.
  • Se k=-1 (isto é, N ímpar), então o radicando é -t^{2}+N, que exige |t|\le\sqrt{N} para ser não negativo; fora desse intervalo W não é real.

Passo 5

Exemplos numéricos rápidos para fixar (só pra ver como fica na prática):
  • Se N=4 então k=1 e
P(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}.
  • Se N=3 então k=-1 e
P(t)=\frac{-t}{\sqrt{-t^{2}+3}},\quad\text{com }|t|\le\sqrt{3}.

Resposta

P(t)=\frac{k\,t}{\sqrt{k\,t^{2}+N}}

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