Questão (4 escores): sabemos que a velocidade é a derivada da função deslocamento e, a função aceleração, é a derivada da velocidade. Assim, em relação a função velocidade
em um tempo x :
Considere
, sendo constantes reais não nulas " a ", " b " e " c ". Encontre as funções deslocamento e aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a função velocidade
e pede duas coisas: a aceleração (que é a derivada da velocidade em relação a
) e o deslocamento (que é a primitiva, a integral da velocidade). Dados relevantes:
onde
são constantes reais não nulas.
As perguntas explícitas são:
As perguntas explícitas são:
- Encontre a aceleração
. - Encontre o deslocamento
.
Passo 2
Vamos calcular a aceleração usando regras de derivação. Lembra: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e usamos a regra da cadeia para funções compostas. Também precisamos da derivada de
, que é
.
Começando por
:
- A derivada de
(constante) é . - Para
usamos: se então . E e .
Portanto, derivando termo a termo:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Assim a aceleração é
Passo 3
Agora vamos encontrar o deslocamento, isto é uma primitiva de
:
Integramos termo a termo:
(mais constante de integração). Para integrar
é mais prático usar a identidade
Substituindo
temos
Passo 4
Continuando a integral com essa identidade:
Calculando cada parte:
E, lembrando que
,
Passo 5
Somando tudo e colocando a constante de integração
:
Podemos agrupar os termos lineares em
:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva encontrada devemos voltar à velocidade. Derivando
Usando
obtemos
, que é exatamente
. Bom sinal de que está correto!
Resposta
Aceleração:
Deslocamento:
Deslocamento: