\mathbf{4}^{\text {a }} Questão (4 escores): sabemos que a velocidade é a derivada da função deslocamento e, a função aceleração, é a derivada da velocidade. Assim, em relação a função velocidade \mathrm{v}(\mathrm{x}) em um tempo x :
\text { Aceleração }=\frac{d v}{d x} \quad e \quad \text { Deslocamento }=\int v(x) d xçã
Considere \mathrm{v}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{b} \cdot \cos ^{2}(\mathrm{cx}), sendo constantes reais não nulas " a ", " b " e " c ". Encontre as funções deslocamento e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade \mathrm{v}(\mathrm{x}) e pede duas coisas: a aceleração (que é a derivada da velocidade em relação a x) e o deslocamento (que é a primitiva, a integral da velocidade). Dados relevantes:
\mathrm{v}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{b}\cdot\cos^{2}(\mathrm{c}x),
onde \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c} são constantes reais não nulas.
As perguntas explícitas são:
  1. Encontre a aceleração \dfrac{d v}{d x}.
  2. Encontre o deslocamento \displaystyle\int v(x)\,dx.

Passo 2

Vamos calcular a aceleração usando regras de derivação. Lembra: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e usamos a regra da cadeia para funções compostas. Também precisamos da derivada de \cos(u), que é -\sin(u)\cdot u'.
Começando por \mathrm{v}(x)=\mathrm{a}+\mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x):
  • A derivada de \mathrm{a} (constante) é 0.
  • Para \mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x) usamos: se g(x)=\big(\cos(\mathrm{c}x)\big)^{2} então g'(x)=2\cos(\mathrm{c}x)\cdot\big(\cos(\mathrm{c}x)\big)'. E \big(\cos(\mathrm{c}x)\big)'=-\sin(\mathrm{c}x)\cdot(\mathrm{c}x)' e (\mathrm{c}x)'=\mathrm{c}.
Portanto, derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(\mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x)\big) =\mathrm{b}\cdot 2\cos(\mathrm{c}x)\cdot\big(-\sin(\mathrm{c}x)\big)\cdot\mathrm{c}.
Simplificando:
\frac{d}{dx}\big(\mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x)\big)=-2\mathrm{b}\mathrm{c}\cos(\mathrm{c}x)\sin(\mathrm{c}x).
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, obtemos
-2\mathrm{b}\mathrm{c}\cos(\mathrm{c}x)\sin(\mathrm{c}x)=-\mathrm{b}\mathrm{c}\sin\big(2\mathrm{c}x\big).
Assim a aceleração é
\boxed{\displaystyle \frac{dv}{dx}=-\mathrm{b}\mathrm{c}\,\sin\big(2\mathrm{c}x\big).}

Passo 3

Agora vamos encontrar o deslocamento, isto é uma primitiva de \mathrm{v}(x):
\int v(x)\,dx=\int\big(\mathrm{a}+\mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x)\big)\,dx.
Integramos termo a termo: \int \mathrm{a}\,dx=\mathrm{a}x (mais constante de integração). Para integrar \cos^{2}(\mathrm{c}x) é mais prático usar a identidade
\cos^{2}(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo \theta=\mathrm{c}x temos
\cos^{2}(\mathrm{c}x)=\frac{1+\cos(2\mathrm{c}x)}{2}.

Passo 4

Continuando a integral com essa identidade:
\int \mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x)\,dx =\mathrm{b}\int \frac{1+\cos(2\mathrm{c}x)}{2}\,dx =\frac{\mathrm{b}}{2}\int 1\,dx+\frac{\mathrm{b}}{2}\int \cos(2\mathrm{c}x)\,dx.
Calculando cada parte:
\frac{\mathrm{b}}{2}\int 1\,dx=\frac{\mathrm{b}}{2}x.
E, lembrando que \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx),
\frac{\mathrm{b}}{2}\int \cos(2\mathrm{c}x)\,dx=\frac{\mathrm{b}}{2}\cdot\frac{1}{2\mathrm{c}}\sin(2\mathrm{c}x)=\frac{\mathrm{b}}{4\mathrm{c}}\sin(2\mathrm{c}x).

Passo 5

Somando tudo e colocando a constante de integração C:
\int v(x)\,dx=\mathrm{a}x+\frac{\mathrm{b}}{2}x+\frac{\mathrm{b}}{4\mathrm{c}}\sin(2\mathrm{c}x)+C.
Podemos agrupar os termos lineares em x:
\boxed{\displaystyle \int v(x)\,dx=\bigg(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}\bigg)x+\frac{\mathrm{b}}{4\mathrm{c}}\sin(2\mathrm{c}x)+C.}

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a primitiva encontrada devemos voltar à velocidade. Derivando
\frac{d}{dx}\left[\bigg(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}\bigg)x+\frac{\mathrm{b}}{4\mathrm{c}}\sin(2\mathrm{c}x)\right] =\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}+\frac{\mathrm{b}}{4\mathrm{c}}\cdot 2\mathrm{c}\cos(2\mathrm{c}x) =\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}+\frac{\mathrm{b}}{2}\cos(2\mathrm{c}x).
Usando \cos^{2}(\mathrm{c}x)=\dfrac{1+\cos(2\mathrm{c}x)}{2} obtemos \mathrm{a}+\mathrm{b}\cos^{2}(\mathrm{c}x), que é exatamente \mathrm{v}(x). Bom sinal de que está correto!

Resposta

Aceleração: \displaystyle -\mathrm{b}\mathrm{c}\,\sin\big(2\mathrm{c}x\big)
Deslocamento: \displaystyle \bigg(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}\bigg)x+\frac{\mathrm{b}}{4\mathrm{c}}\sin(2\mathrm{c}x)+C

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