A derivada da função trabalho (W) em relação ao tempo (t) é a função potência §. Ou seja,
P=\frac{d W}{d t}
De onde concluímos que \mathrm{dW}=\mathrm{P} \cdot \mathrm{dt} e, por conseguinte, \mathbf{W}=\int \mathbf{P}(\mathbf{t}) \cdot \mathbf{d t}
Considere N número de letras de seu primeiro nome e \mathrm{k}=(-1)^{\mathrm{N}}.
Se, em certa ocasião, a potência for dada por \frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{t}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{k}+\mathbf{1 2}}, encontre a função trabalho.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que encontremos a função trabalho:
  • Temos que a potência é a derivada do trabalho em relação ao tempo: \displaystyle P=\frac{dW}{dt}.
  • Logo, \displaystyle dW=P\,dt e \displaystyle W(t)=\int P(t)\,dt (mais uma constante de integração).
  • Foi dada a potência em certa ocasião como \displaystyle P(t)=\frac{1}{t^{2}+k+12}.
  • Foi definido \displaystyle N como o número de letras do seu primeiro nome e \displaystyle k=(-1)^{N}.
    O que o problema pede: integrar \displaystyle P(t)=\frac{1}{t^{2}+k+12} para obter \displaystyle W(t).

Passo 2

Vamos entender o valor de \displaystyle k a partir de \displaystyle N:
  • Se \displaystyle N é par então \displaystyle k=(-1)^{N}=1.
  • Se \displaystyle N é ímpar então \displaystyle k=(-1)^{N}=-1.
    Com isso o denominador \displaystyle t^{2}+k+12 vale:
  • quando \displaystyle k=1: \displaystyle t^{2}+1+12=t^{2}+13,
  • quando \displaystyle k=-1: \displaystyle t^{2}-1+12=t^{2}+11.
    Como o enunciado não me deu o seu nome, devo apresentar as duas possibilidades (uma para N par e outra para N ímpar).

Passo 3

Estratégia de integração (conceito usado): vamos integrar funções do tipo \displaystyle \int \frac{1}{t^{2}+a^{2}}\,dt. A fórmula conhecida (e fácil de justificar) é
\int \frac{1}{t^{2}+a^{2}}\,dt=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right)+C,
onde a>0 e C é constante de integração.
Por que isso funciona? Uma forma rápida de ver é derivar o lado direito: seja F(t)=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right). Então
F'(t)=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+(t/a)^{2}}\cdot\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{a}\right) =\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+t^{2}/a^{2}}\cdot\frac{1}{a} =\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{1}{(1+t^{2}/a^{2})} =\frac{1}{t^{2}+a^{2}}.
Portanto F'(t)=\frac{1}{t^{2}+a^{2}}, o que confirma a fórmula de primitiva acima.

Passo 4

Aplicação ao caso \displaystyle k=1 (ou seja, \displaystyle N par).
  • Aqui o denominador é \displaystyle t^{2}+13. Escrevemos \displaystyle 13=(\sqrt{13})^{2} e identificamos a=\sqrt{13}>0.
  • Usando a fórmula,
\int \frac{1}{t^{2}+13}\,dt=\frac{1}{\sqrt{13}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{13}}\right)+C.
Portanto, quando \displaystyle N é par, a função trabalho é essa expressão.

Passo 5

Aplicação ao caso \displaystyle k=-1 (ou seja, \displaystyle N ímpar).
  • Aqui o denominador é \displaystyle t^{2}+11. Escrevemos \displaystyle 11=(\sqrt{11})^{2} e identificamos a=\sqrt{11}>0.
  • Usando a mesma fórmula,
\int \frac{1}{t^{2}+11}\,dt=\frac{1}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{11}}\right)+C.
Portanto, quando \displaystyle N é ímpar, a função trabalho é essa expressão.

Resposta

Se N é par: W(t)=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\arctan\!\left(\dfrac{t}{\sqrt{13}}\right)+C\n
Se N é ímpar: W(t)=\dfrac{1}{\sqrt{11}}\arctan\!\left(\dfrac{t}{\sqrt{11}}\right)+C

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