derivada das funções \sin \left(x^{3}\right), \cos (\sin (x)) e x \sin (x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das três funções abaixo. As funções dadas são:
\sin\left(x^{3}\right),
\cos(\sin(x)) e
x\sin(x).
Vou encontrar a derivada de cada uma, passo a passo, mostrando as regras usadas e explicando cada passo com calma.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Derivada: a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea; na prática aqui vamos aplicar regras algébricas para obter fórmulas.
  • Derivadas elementares que precisamos conhecer:
    • A derivada de \sin(x) em relação a x é \cos(x). Em notação, \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
    • A derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x). Em notação, \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
      Explicação curta do porquê do sinal negativo: a função \cos(x) decresce onde \sin(x) cresce, então sua taxa instantânea tem sinal oposto; a propriedade vem do limite que define derivada, mas aqui decoramos e aplicamos.

Passo 3

Regra importante 1 — Regra da cadeia (para composições):
Se temos uma função composta y=f(g(x)), então a derivada é
\dfrac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
O que isso significa, em palavras: derivamos a função exterior f mantendo a parte interior g(x) como argumento, e multiplicamos pelo derivado da parte interior g(x). Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em \sin\left(x^{3}\right).
  • Identifico a composição: a função exterior é f(u)=\sin(u) e a interior é u(x)=x^{3}.
  • Derivado da interior: \dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
    (Aqui usei a regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.)
  • Derivado da exterior em função de u: f'(u)=\cos(u).
  • Pela regra da cadeia:
\dfrac{d}{dx}\sin\big(x^{3}\big)=\cos\big(x^{3}\big)\cdot 3x^{2}.
Organizando a escrita de maneira usual:
\dfrac{d}{dx}\sin\big(x^{3}\big)=3x^{2}\cos\big(x^{3}\big).

Passo 5

Regra importante 2 — Regra da cadeia aplicada a \cos(\sin(x)).
Agora temos outra composição, mas aninhada: a função exterior é F(w)=\cos(w) e a interior é w(x)=\sin(x).
  • Derivado da interior: \dfrac{dw}{dx}=\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • Derivado da exterior em função de w: F'(w)=-\sin(w) (repare no sinal negativo).
  • Aplicando a regra da cadeia:
\dfrac{d}{dx}\cos\big(\sin(x)\big)= -\sin\big(\sin(x)\big)\cdot \cos(x).
Ou escrito de forma limpa:
\dfrac{d}{dx}\cos\big(\sin(x)\big)=-\sin\big(\sin(x)\big)\cos(x).
Observação intuitiva: primeiro diferencio a camada externa ( \cos) gerando um -\sin avaliado na camada interna, depois multiplico pelo derivado da camada interna ( \cos(x)).

Passo 6

Regra importante 3 — Regra do produto (para x\sin(x)):
Se h(x)=u(x)\,v(x) então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicação: a taxa de variação do produto combina as taxas de cada fator mantendo o outro como está, somando as contribuições.

Passo 7

Aplicando a regra do produto em x\sin(x).
  • Escolho u(x)=x e v(x)=\sin(x).
  • Derivadas:
    • u'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1.
    • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • Pela regra do produto:
\dfrac{d}{dx}\big(x\sin(x)\big)=1\cdot \sin(x)+x\cdot \cos(x).
Simplificando:
\dfrac{d}{dx}\big(x\sin(x)\big)=\sin(x)+x\cos(x).
Dica prática para prova: muitas vezes escreva direto \sin(x)+x\cos(x); se esquecer a ordem, lembre-se da regra u'v+uv'.

Passo 8

Recapitulando de forma curta (não é a seção final ainda): derivamos cada função usando a regra adequada — cadeia para composições e produto para produtos. Confirme mentalmente que as multiplicações pelos derivados internos foram feitas (esse é o lugar onde normalmente a galera esquece um fator).

Resposta

\dfrac{d}{dx}\sin\big(x^{3}\big)=3x^{2}\cos\big(x^{3}\big)\n
\dfrac{d}{dx}\cos\big(\sin(x)\big)=-\sin\big(\sin(x)\big)\cos(x)\n
\dfrac{d}{dx}\big(x\sin(x)\big)=\sin(x)+x\cos(x)

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