derivada das funções
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas das três funções abaixo. As funções dadas são:
,
e
.
Vou encontrar a derivada de cada uma, passo a passo, mostrando as regras usadas e explicando cada passo com calma.
Vou encontrar a derivada de cada uma, passo a passo, mostrando as regras usadas e explicando cada passo com calma.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma simples):
- Derivada: a derivada de uma função em um ponto mede a taxa de variação instantânea; na prática aqui vamos aplicar regras algébricas para obter fórmulas.
- Derivadas elementares que precisamos conhecer:
- A derivada de
em relação a é . Em notação, . - A derivada de
em relação a é . Em notação, .
Explicação curta do porquê do sinal negativo: a funçãodecresce onde cresce, então sua taxa instantânea tem sinal oposto; a propriedade vem do limite que define derivada, mas aqui decoramos e aplicamos.
- A derivada de
Passo 3
Regra importante 1 — Regra da cadeia (para composições):
Se temos uma função composta , então a derivada é
Se temos uma função composta
O que isso significa, em palavras: derivamos a função exterior
mantendo a parte interior
como argumento, e multiplicamos pelo derivado da parte interior
. Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia em
.
- Identifico a composição: a função exterior é
e a interior é . - Derivado da interior:
.
(Aqui usei a regra do poder:.) - Derivado da exterior em função de
: . - Pela regra da cadeia:
Organizando a escrita de maneira usual:
Passo 5
Regra importante 2 — Regra da cadeia aplicada a
.
Agora temos outra composição, mas aninhada: a função exterior é e a interior é
.
Agora temos outra composição, mas aninhada: a função exterior é
- Derivado da interior:
. - Derivado da exterior em função de
: (repare no sinal negativo). - Aplicando a regra da cadeia:
Ou escrito de forma limpa:
Observação intuitiva: primeiro diferencio a camada externa (
) gerando um
avaliado na camada interna, depois multiplico pelo derivado da camada interna (
).
Passo 6
Regra importante 3 — Regra do produto (para
):
Se então
Se
Explicação: a taxa de variação do produto combina as taxas de cada fator mantendo o outro como está, somando as contribuições.
Passo 7
Aplicando a regra do produto em
.
- Escolho
e . - Derivadas:
-
. -
.
-
- Pela regra do produto:
Simplificando:
Dica prática para prova: muitas vezes escreva direto
; se esquecer a ordem, lembre-se da regra
.
Passo 8
Recapitulando de forma curta (não é a seção final ainda): derivamos cada função usando a regra adequada — cadeia para composições e produto para produtos. Confirme mentalmente que as multiplicações pelos derivados internos foram feitas (esse é o lugar onde normalmente a galera esquece um fator).