Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolver usando o método dos coeficientes indeterminados. As informações relevantes são:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo é a função constante
. - Queremos a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos
obtendo:
Resolvendo:
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um palpite para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é a constante
. O palpite padrão para uma constante é um polinômio de grau zero:
com
constante a determinar. Antes de aceitar esse palpite, lembramos uma regra importante: se o palpite pertence ao espaço das soluções da homogênea (ou seja, é solução da homogênea), então devemos multiplicar o palpite por
suficiente vezes até obter uma função linearmente independente da homogênea (isso evita “ressonância”).
Passo 4
Testar o palpite constante. Se
então
logo ao substituir na equação:
Mas queremos que isso seja igual a
. Como
, o palpite
falha. Observamos que a função constante faz parte da solução homogênea (veja
em
), portanto há ressonância: devemos multiplicar o palpite por
. Assim tentamos
Passo 5
Calcular derivadas do novo palpite e determinar
. Para
temos
Substituindo na equação:
Queremos que isso seja
, então
Portanto uma solução particular é
Passo 6
Construir a solução geral somando homogênea e particular. Temos
Verificação rápida: calcule
e
,
então
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação.