Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y''-y'=-3
e pede para resolver usando o método dos coeficientes indeterminados. As informações relevantes são:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é a função constante -3.
  • Queremos a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
y''-y'=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} obtendo:
r^2-r=0.
Resolvendo:
r(r-1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=1.
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{1\cdot x}=C_1+C_2 e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um palpite para a solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados. O termo forçante é a constante -3. O palpite padrão para uma constante é um polinômio de grau zero:
y_p=A,
com A constante a determinar. Antes de aceitar esse palpite, lembramos uma regra importante: se o palpite pertence ao espaço das soluções da homogênea (ou seja, é solução da homogênea), então devemos multiplicar o palpite por x suficiente vezes até obter uma função linearmente independente da homogênea (isso evita “ressonância”).

Passo 4

Testar o palpite constante. Se y_p=A então
y_p'=0,\qquad y_p''=0,
logo ao substituir na equação:
y_p''-y_p'=0-0=0.
Mas queremos que isso seja igual a -3. Como 0\neq -3, o palpite y_p=A falha. Observamos que a função constante faz parte da solução homogênea (veja C_1 em y_h), portanto há ressonância: devemos multiplicar o palpite por x. Assim tentamos
y_p=A x.

Passo 5

Calcular derivadas do novo palpite e determinar A. Para y_p=A x temos
y_p'=A,\qquad y_p''=0.
Substituindo na equação:
y_p''-y_p'=0-A=-A.
Queremos que isso seja -3, então
-A=-3\quad\Rightarrow\quad A=3.
Portanto uma solução particular é
y_p=3x.

Passo 6

Construir a solução geral somando homogênea e particular. Temos
y(x)=y_h+y_p=C_1+C_2 e^{x}+3x.
Verificação rápida: calcule y' e y'',
y'=C_2 e^{x}+3,\qquad y''=C_2 e^{x},
então
y''-y'=(C_2 e^{x})-(C_2 e^{x}+3)=-3,
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=C_1+C_2 e^{x}+3x

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