Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^{\prime \prime}+y=2 r \sin x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y=2r\sin x
onde r é uma constante dada.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação: } y''+y=2r\sin x.çã
Não há condições iniciais, então procuramos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Para isso usamos a equação característica. Seja \lambda a raiz característica; então
\lambda^{2}+1=0.
As raízes são \lambda=\pm i. Essas raízes complexas conjugadas correspondem às funções \cos x e \sin x. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a parte não homogênea. O termo forçante é 2r\sin x. Observação importante: \sin x aparece na solução homogênea. Isso significa que há ressonância — a tentativa direta y_{p}=A\cos x + B\sin x falharia porque produziria termos já presentes na homogênea. A regra prática (método dos coeficientes indeterminados) diz que, quando o termo do lado direito é solução da homogênea, devemos multiplicar a tentativa por x. Assim tomamos a ansatz
y_{p}=x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
onde A e B são constantes desconhecidas a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} passo a passo, usando regra do produto.
Escrevendo
y_{p}=x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
temos a primeira derivada
y_{p}'=A\cos x + B\sin x + x\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr).
Agora derivamos novamente. Derivada do primeiro grupo A\cos x + B\sin x é -A\sin x + B\cos x. Derivada do segundo grupo, que é x(-A\sin x + B\cos x), é
(-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x).
Somando as duas partes obtemos
y_{p}''=2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) + x\bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr).

Passo 5

Substituímos y_{p} e y_{p}'' na equação y''+y:
y_{p}''+y_{p} = \bigl[2(-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x)\bigr] + x(A\cos x + B\sin x).
Repare que os termos com fator x se cancelam:
x(-A\cos x - B\sin x) + x(A\cos x + B\sin x) = 0.
Portanto sobra
y_{p}''+y_{p} = 2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) = -2A\sin x + 2B\cos x.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito 2r\sin x. Igualando coeficientes de \sin x e \cos x obtemos o sistema
-2A = 2r,\qquad 2B = 0.
Assim
A=-r,\qquad B=0.

Passo 6

Com A=-r e B=0 temos a solução particular
y_{p}=-r x\cos x.
A solução geral da equação diferencial é então a soma da homogênea com a particular:
y=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x - r x\cos x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x - r x\cos x

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