Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
é uma constante dada.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há condições iniciais, então procuramos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica. Seja
a raiz característica; então
As raízes são
. Essas raízes complexas conjugadas correspondem às funções
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não homogênea. O termo forçante é
. Observação importante:
aparece na solução homogênea. Isso significa que há ressonância — a tentativa direta
falharia porque produziria termos já presentes na homogênea. A regra prática (método dos coeficientes indeterminados) diz que, quando o termo do lado direito é solução da homogênea, devemos multiplicar a tentativa por
. Assim tomamos a ansatz
onde
e
são constantes desconhecidas a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
passo a passo, usando regra do produto.
Escrevendo
temos a primeira derivada
Agora derivamos novamente. Derivada do primeiro grupo
é
. Derivada do segundo grupo, que é
, é
Somando as duas partes obtemos
Passo 5
Substituímos
e
na equação
:
Repare que os termos com fator
se cancelam:
Portanto sobra
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema
Assim
Passo 6
Com
e
temos a solução particular
A solução geral da equação diferencial é então a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.