Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
  • \operatorname{com} \mathrm{x}>0, aplicando corretamente a regra do produto.
    f(x)=5^{x} \cdot \sqrt[3]{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=5^{x}\cdot\sqrt[3]{x}
para \,x>0, aplicando corretamente a regra do produto.
Informações relevantes dadas: a função é o produto de \,5^{x} e de \sqrt[3]{x} e o domínio considerado é \,x>0.

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos: a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é dada por
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' é a derivada de u e v' é a derivada de v. Vou usar essa fórmula com u(x)=5^{x} e v(x)=\sqrt[3]{x}.

Passo 3

Próximo conceito: derivada de uma exponencial de base constante. Para a>0 fixo, a função a^{x} pode ser escrita como
a^{x}=e^{x\ln a}.
Derivando em relação a x usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}a^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^{x}\ln a.
Aplicando com a=5, temos
\frac{d}{dx}5^{x}=5^{x}\ln 5.

Passo 4

Outro conceito necessário: derivada de potência. Para n\in\mathbb{R}, a regra do poder diz
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1},
válida para x>0 quando n não é inteiro. A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Aplicando a regra do poder com n=\tfrac{1}{3}, obtemos
\frac{d}{dx}x^{1/3}=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com u(x)=5^{x} e v(x)=x^{1/3}. Já calculamos
u'(x)=5^{x}\ln 5
e
v'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Portanto, pela regra do produto,
f'(x)=u'v+uv' = \big(5^{x}\ln 5\big)\cdot x^{1/3} + 5^{x}\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar 5^{x} em comum:
f'(x)=5^{x}\left(\ln 5\; x^{1/3} + \frac{1}{3}x^{-2/3}\right).
Para deixar ainda mais compacto, fatoramos x^{-2/3} dentro do parêntese (lembre que x^{1/3}=x^{-2/3}\cdot x):
f'(x)=5^{x}\,x^{-2/3}\left(\ln 5\; x + \frac{1}{3}\right).
Como x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}, uma forma alternativa é
f'(x)=\frac{5^{x}}{x^{2/3}}\left(\ln 5\; x + \frac{1}{3}\right).

Resposta

f'(x)=\frac{5^{x}}{x^{2/3}}\!\left(\ln 5\; x + \frac{1}{3}\right)

Exercícios relacionados