Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas de:
-
, aplicando corretamente a regra do produto.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
para
, aplicando corretamente a regra do produto.
Informações relevantes dadas: a função é o produto de e de
e o domínio considerado é
.
Informações relevantes dadas: a função é o produto de
Passo 2
Primeiro conceito que precisamos: a regra do produto. Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é dada por
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
. Vou usar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Próximo conceito: derivada de uma exponencial de base constante. Para
fixo, a função
pode ser escrita como
Derivando em relação a
usando a regra da cadeia, obtemos
Aplicando com
, temos
Passo 4
Outro conceito necessário: derivada de potência. Para
, a regra do poder diz
válida para
quando
não é inteiro. A raiz cúbica pode ser escrita como potência:
Aplicando a regra do poder com
, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com
e
. Já calculamos
e
Portanto, pela regra do produto,
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar
em comum:
Para deixar ainda mais compacto, fatoramos
dentro do parêntese (lembre que
):
Como
, uma forma alternativa é