Como a derivada pode ser útil em parametrização de superfícies? Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta como a derivada pode ser útil em parametrização de superfícies. Aqui vamos usar cálculo de derivadas parciais de funções vetoriais para obter vetores tangentes, o vetor normal à superfície e o elemento de área.
Passo 2
Para uma superfície parametrizada por
, as derivadas parciais
e
são vetores tangentes à superfície no ponto
. O produto vetorial
é um vetor normal à superfície, e seu módulo
dá o fator de escala do elemento de área após a mudança de variáveis.
Passo 3
Como exemplo, considere a esfera unitária em
com a parametrização
onde
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
O vetor normal é
e o elemento de área local sobre a esfera é
Resposta
A derivada da parametrização gera os vetores tangentes
e
, define o plano tangente, permite obter o vetor normal via produto vetorial e fornece o elemento de área como
. No exemplo da esfera unitária vimos que
.