Como a derivada pode ser útil em parametrização de superfícies? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta como a derivada pode ser útil em parametrização de superfícies. Aqui vamos usar cálculo de derivadas parciais de funções vetoriais para obter vetores tangentes, o vetor normal à superfície e o elemento de área.

Passo 2

Para uma superfície parametrizada por r(u,v), as derivadas parciais ru e rv são vetores tangentes à superfície no ponto (u,v). O produto vetorial
rutimesrv
é um vetor normal à superfície, e seu módulo |rutimesrv| dá o fator de escala do elemento de área após a mudança de variáveis.

Passo 3

Como exemplo, considere a esfera unitária em R^3 com a parametrização
r(u,v) = l(sin ucos v,;sin usin v,;cos ur),
onde uin(0,pi) e vin(0,2pi).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
ru = l(cos ucos v,;cos usin v,;-,sin ur),
rv = l(-,sin usin v,;sin ucos v,;0r)

Passo 5

O vetor normal é
N = ru times rv,
e o elemento de área local sobre a esfera é
dS = |ru times rv|;du,dv = sin u;du,dv

Resposta

A derivada da parametrização gera os vetores tangentes ru e rv, define o plano tangente, permite obter o vetor normal via produto vetorial e fornece o elemento de área como |rutimesrv|,du,dv. No exemplo da esfera unitária vimos que dS=sin u,du,dv.

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