Como a derivada pode ser útil em parametrização de curvas? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta como a derivada pode ser útil em parametrização de curvas e pede um exemplo. O conteúdo envolve parametrização de curvas em R^2 (ou R^3), vetores tangentes, cálculo de comprimento de arco e reparametrização usando derivadas.

Passo 2

A derivada do vetor posição r(t) em relação a t gera o vetor velocidade r'(t), que é tangente à curva em cada ponto. A magnitude |r'(t)| é a velocidade escalar, permitindo calcular o diferencial de comprimento de arco
ds = |r'(t)|,dt
Essa fórmula mostra que a derivada é fundamental para medir distâncias ao longo da curva.

Passo 3

Com isso podemos reparametrizar a curva em função do comprimento de arco s. Se definirmos
s(t) = integralt0^t |r'(u)|,du,
então a inversa t(s) fornece uma nova parametrização R(s) = r(t(s)) em que |R'(s)| = 1. Essa reparametrização por comprimento de arco é útil para estudar propriedades intrínsecas da curva.

Passo 4

Como exemplo, considere o círculo de raio R parametrizado por
r(t) = (Rcos t,,Rsin t), tin[0,2pi]
Calculamos
r'(t) = (-Rsin t,,Rcos t),
então
|r'(t)| = raiz(-Rsin t)^2 + (Rcos t)^2 = R
Em seguida o comprimento de arco desde t=0 é
s(t) = integral0^t R,du = R,t,
logo t = s/R e a curva reparametrizada por arco é
R(s) = l(Rcos(s/R),,Rsin(s/R)r), sin[0,2pi R]

Passo 5

Além disso, derivando novamente obtemos r''(t) e podemos calcular a curvatura kappa(t) por
kappa(t) = |r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3
Isso mostra como a derivada é chave para descrever geometria local da curva.

Resposta

A derivada de uma parametrização de curva fornece o vetor tangente e a velocidade escalar, o que permite calcular comprimento de arco, reparametrizar por s e avaliar propriedades como a curvatura. No exemplo do círculo r(t)=(Rcos t,Rsin t) vimos que |r'(t)|=R, então s=R,t e a curva reparametrizada por arco é
R(s)=(Rcos(s/R),Rsin(s/R))

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