Como a derivada pode ser útil em parametrização de curvas? Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta como a derivada pode ser útil em parametrização de curvas e pede um exemplo. O conteúdo envolve parametrização de curvas em
(ou
), vetores tangentes, cálculo de comprimento de arco e reparametrização usando derivadas.
Passo 2
A derivada do vetor posição
em relação a
gera o vetor velocidade
, que é tangente à curva em cada ponto. A magnitude
é a velocidade escalar, permitindo calcular o diferencial de comprimento de arco
Essa fórmula mostra que a derivada é fundamental para medir distâncias ao longo da curva.
Passo 3
Com isso podemos reparametrizar a curva em função do comprimento de arco
. Se definirmos
então a inversa
fornece uma nova parametrização
em que
. Essa reparametrização por comprimento de arco é útil para estudar propriedades intrínsecas da curva.
Passo 4
Como exemplo, considere o círculo de raio
parametrizado por
Calculamos
então
Em seguida o comprimento de arco desde
é
logo
e a curva reparametrizada por arco é
Passo 5
Além disso, derivando novamente obtemos
e podemos calcular a curvatura
por
Isso mostra como a derivada é chave para descrever geometria local da curva.
Resposta
A derivada de uma parametrização de curva fornece o vetor tangente e a velocidade escalar, o que permite calcular comprimento de arco, reparametrizar por
e avaliar propriedades como a curvatura. No exemplo do círculo
vimos que
, então
e a curva reparametrizada por arco é