Como a derivada pode ser útil em mudanças de variáveis? Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta como a derivada nos ajuda a fazer mudanças de variável, isto é, a reescrever expressões em uma nova variável. O conteúdo principal aqui é o Regra da Cadeia e o conceito de diferencial. Para resolver, vamos mostrar como a derivada aparece no fator de escala quando fazemos uma substituição em uma integral simples.
Passo 2
Seja uma função
. A derivada
dá a taxa de variação de
em relação a
. Em termos de diferenciais, escrevemos
Isso significa que um pequeno incremento
em
gera um incremento
em
, e o fator de proporcionalidade é
.
Passo 3
Na mudança de variável em uma integral, dizemos
Ou seja, toda vez que trocamos
por
, também substituímos
por
. Esse
é justamente a derivada que “corrige” o tamanho do passo.
Passo 4
Exemplo concreto: calcular
Fazemos a substituição
. Então
Substituindo na integral, obtemos
A integral de
é
, logo
Resposta
A derivada aparece como fator de escala
na regra de substituição. No exemplo
o
vem de
, ou seja, da derivada de
.