Como a derivada pode ser útil em mudanças de variáveis? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta como a derivada nos ajuda a fazer mudanças de variável, isto é, a reescrever expressões em uma nova variável. O conteúdo principal aqui é o Regra da Cadeia e o conceito de diferencial. Para resolver, vamos mostrar como a derivada aparece no fator de escala quando fazemos uma substituição em uma integral simples.

Passo 2

Seja uma função u = g(x). A derivada g'(x) dá a taxa de variação de u em relação a x. Em termos de diferenciais, escrevemos
du = g'(x),dx
Isso significa que um pequeno incremento dx em x gera um incremento du em u, e o fator de proporcionalidade é g'(x).

Passo 3

Na mudança de variável em uma integral, dizemos
integral f(u),du longrightarrow integral fl(g(x)r),l(g'(x),dxr)
Ou seja, toda vez que trocamos u por g(x), também substituímos du por g'(x),dx. Esse g'(x) é justamente a derivada que “corrige” o tamanho do passo.

Passo 4

Exemplo concreto: calcular
integral sin(2x),dx
Fazemos a substituição u = 2x. Então
du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Substituindo na integral, obtemos
integral sin(2x),dx = integral sin(u),du2 = 12,integral sin(u),du
A integral de sin(u) é -cos(u), logo
12,integral sin(u),du = 12l(-cos(u)r) + C = -12cos(2x) + C

Resposta

A derivada aparece como fator de escala du = g'(x),dx na regra de substituição. No exemplo
integral sin(2x),dx = -tfrac12cos(2x) + C,
o 1/2 vem de dx = du/2, ou seja, da derivada de u=2x.

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