Nos seguintes problemas, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros:
y^prime prime-y=cosh x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y=cosh x
pelo método da variação dos parâmetros.
Conteúdo: resolução de EDO linear de segunda ordem não homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
y''-y=0
A equação característica é
r^2-1=0Longrightarrow r=pm1
Logo as soluções fundamentais são
y1=e^x, y2=e^-x,
e a solução geral homogênea é
yh=C1e^x+C2e^-x

Passo 3

Pelo método da variação dos parâmetros, buscamos
yp=-y1integraly2,f(x)W,dx;+;y2integraly1,f(x)W,dx,
onde f(x)=cosh x e o Wronskiano
W=y1y2'-y1'y2 =e^xcdot(-e^-x)-(e^x)cdot e^-x=-2

Passo 4

Calculamos as integrais auxiliares
I1=integral e^-xcosh x,dx, I2=integral e^xcosh x,dx
Como cosh x=(e^x+e^-x)/2, temos
e^-xcosh x=tfrac12(1+e^-2x) ;Longrightarrow; I1=tfrac12integral(1+e^-2x)dx =tfrac12l(x-tfrace^-2x2r) = x2-e^-2x4,
e^xcosh x=tfrac12(e^2x+1) ;Longrightarrow; I2=tfrac12integral(e^2x+1)dx =tfrac12l(e^2x2+xr) =e^2x4+ x2

Passo 5

Substituindo em
yp =e^xintegrale^-xcosh x2,dx - e^-xintegrale^xcosh x2,dx
(obtido de dividir cada termo por -W=2), vem
yp =e^xcdotI12-e^-xcdotI22 =e^xl( x4-e^-2x8r) -e^-xl(e^2x8+ x4r)
Simplificando
yp =x,e^x4-e^-x8-e^x8-x,e^-x4 = x2sinh x-cosh x4

Passo 6

A solução geral da equação original é
y(x)=yh+yp =C1e^x+C2e^-x+ x2sinh x-cosh x4

Resposta

y(x)=C1e^x+C2e^-x+ x2sinh x-cosh x4

Exercícios relacionados