Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
12. f(x)=(x^wed>= 2+1 / x^wed>= 2)^wed>= 4

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de f(x) = (x^2 + x^-2)^4. O conteúdo aqui é regra da cadeia e derivação de potências e de x^n. Vamos usar: derivada de u^4 = 4u^3 u' e derivada de x^n = n x^n-1.

Passo 2

Definimos a função interna u(x) = x^2 + x^-2, de modo que f(x) = [u(x)]^4. Isso facilita aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Para x^2 temos ddx(x^2)=2x e para x^-2 temos ddx(x^-2)=-2x^-3. Assim:
$$
u’(x)=2x-2x^{-3}.$$

Passo 4

Aplicamos agora a regra da cadeia em f(x)=[u(x)]^4. Logo:
f'(x)=4,u(x)^3cdot u'(x)

Passo 5

Substituímos u(x) e u'(x) na expressão de f'(x) e fatoramos onde fizer sentido:
f'(x)=4,(x^2+x^-2)^3,(2x-2x^-3) =8,(x^2+x^-2)^3,(x-x^-3)

Resposta

f'(x)=8,(x^2+x^-2)^3,(x-x^-3).

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