Derivada de y=arctg x /(1+x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = arctan x1+x. O conteúdo aqui é a regra do quociente de derivadas e a derivada da função inversa da tangente.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para y = u(x)v(x), temos
dydx = v(x),u'(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Identificamos u(x) = arctan x e v(x) = 1+x. Sabemos que
ddxl(arctan xr) = 11+x^2,
e
ddx(1+x) = 1

Passo 4

Substituindo na regra do quociente, obtemos
dydx = (1+x)cdot11+x^2 - (arctan x)cdot1(1+x)^2

Passo 5

Agora, vamos deixar tudo sobre um mesmo denominador para simplificar. O numerador fica
1+x1+x^2 - arctan x = 1+x - (1+x^2),arctan x1+x^2,
e o denominador geral é (1+x)^2. Assim,
dydx = 1+x - (1+x^2),arctan x(1+x)^2,(1+x^2)

Resposta

1+x - (1+x^2),arctan x(1+x)^2,(1+x^2)

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