Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos:
sumk=0^infty k^55^k

Passo 1

Vamos analisar a série sumk=0^inftyk^55^k usando o teste da razão. Para isso, lembramos que, em séries de termos positivos, definimos ak=k^55^k e calculamos o limite L=limktoinftyak+1ak. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste não nos diz nada.

Passo 2

Calculamos o quociente entre termos consecutivos:

Passo 3

ak+1ak =(k+1)^55^k+1k^55^k =(k+1)^5k^5cdot15 =l(1+1kr)^5cdot15
Agora tomamos o limite quando ktoinfty:
L=limktoinftyl(1+1kr)^5cdot15 =1^5cdot15=15

Passo 4

Como L=tfrac15<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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