Derive dy / dx nos exercícios 58 a 61:
y=u /(u-1), u=(x^wed>= 2+1)^wed>= 3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função y definida em termos de uma variável auxiliar u e, por sua vez, u em função de x. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, a regra do quociente e a derivada de uma potência. Vamos usar essas ferramentas para encontrar dy/dx.

Passo 2

Para calcular dy/du, aplicamos a regra do quociente à função y= u/(u-1). Temos:
dydu=(u-1)cdot1 - ucdot1(u-1)^2=u-1-u(u-1)^2=-1(u-1)^2

Passo 3

Para calcular du/dx, derivamos u=(x2+1)3 usando a regra da cadeia para potências. Primeiro a derivada de t^3 é 3t^2, depois derivamos t=x^2+1:
dudx=3(x^2+1)^2cdotddx(x^2+1)=3(x^2+1)^2cdot2x=6x,(x^2+1)^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dydx=dyducdotdudx=-1(u-1)^2cdot6x,(x^2+1)^2=-6x,(x^2+1)^2(u-1)^2
Por fim, substituímos u=(x2+1)3 no denominador.

Passo 5

Substituindo u=(x2+1)3 em (u-1)^2, obtemos:
dydx=-6x,(x^2+1)^2l((x^2+1)^3-1r)^2

Resposta

-dfrac6x,(x^2+1)^2l((x^2+1)^3-1r)^2

Exercícios relacionados