Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(x)=(x^wed>= 4-1)^wed>= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \left(x^{4} - 1\right)^{5} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar identificar as partes internas e externas da função para aplicar essa regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função:
  • Função externa: $ u^5 $, onde $ u = x^{4} - 1 $
  • Função interna: $ x^{4} - 1 $
A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta $ f(u) $, onde $ u = g(x) $, a derivada é $ f’(u) \cdot g’(x) $.

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a $ u $:
u

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a $ x $:
x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = 5u^4 cdot 4x^3

Passo 6

Substituímos $ u $ de volta pela expressão original $ x^{4} - 1 $:
u

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
f'(x) = 20x^3(x^4 - 1)^4

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \left(x^{4} - 1\right)^{5} $ é:
f(x) = (x^4 - 1)^5

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