Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \left(x^{4} - 1\right)^{5} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivar funções compostas. Para isso, vamos precisar identificar as partes internas e externas da função para aplicar essa regra corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função:
- Função externa: $ u^5 $, onde $ u = x^{4} - 1 $
- Função interna: $ x^{4} - 1 $
A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta $ f(u) $, onde $ u = g(x) $, a derivada é $ f’(u) \cdot g’(x) $.
Passo 3
Vamos derivar a função externa em relação a $ u $:
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna em relação a $ x $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Passo 6
Substituímos $ u $ de volta pela expressão original $ x^{4} - 1 $:
Passo 7
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \left(x^{4} - 1\right)^{5} $ é: