Derivada de y=(sen x-arctg(1 / x))^wed>= 2.

Passo 1

A questão pede a derivada de y = (sen x - arctg(1/x))^2. O conteúdo principal é derivada de funções compostas (regra da cadeia) e a gente vai precisar também da derivada de sen x e de arctg(v), aplicando ainda a derivada de v = 1/x.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função interna e a externa. A função interna é u(x) = sen x - arctg(1/x), e a externa é f(u) = u^2

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de y = f(u(x)) é dada por y' = f'(u(x)) cdot u'(x) Como f(u)=u^2, temos f'(u)=2u Portanto, y' = 2,u(x) cdot u'(x)

Passo 4

Agora vamos calcular u'(x). Como u(x)=sen x - arctg(1/x), temos duas derivadas:
  • dfracddx(sen x)=cos x
  • Para arctg(1/x), usamos que dfracddv(arctg v)=dfrac11+v^2 e que v(x)=1/x tem v'(x)=-1/x^2. Então
ddxl(arctg(1/x)r)=v'(x)1+v(x)^2=-1/x^21+1/x^2=-1x^2+1
Assim
$$u’(x)=\cos x - \bigl(-\tfrac{1}{x^2+1}\bigr)=\cos x + \frac{1}{x^2+1}.
$$

Passo 5

Finalmente, substituímos u(x) e u'(x) na regra da cadeia:
y' = 2l(sen x - arctg(1/x)r)(cos x + 1x^2+1)

Resposta

y'=2l(sen x - arctg(1/x)r)(cos x + 1x^2+1)

Exercícios relacionados