Calcule f^prime(a) usando a definição, nos seguintes casos:
f(x)=x-raiz[3]x ; a=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ f(x) = x - \sqrt[3]{x} $ no ponto $ a = 8 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar a definição de limite que nos dá a derivada em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é dada por:
f
Aqui, $ h $ representa um pequeno incremento em $ x $ próximo de $ a $.

Passo 3

Agora, vamos substituir $ f(x) $ e $ a $ na definição. Nosso $ f(x) $ é $ x - \sqrt[3]{x} $ e $ a = 8 $. Então:
f(x)

Passo 4

Vamos calcular $ f(8+h) $ e $ f(8) $:
f(8+h)
f(8)

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada:
f'(8) = limh to 0 (8 + h) - raiz[3]8 + h - 6h
f'(8) = limh to 0 2 + h - raiz[3]8 + hh

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que $ \sqrt[3]{8} = 2 $. Para pequenos valores de $ h $, podemos aproximar $ \sqrt[3]{8 + h} $ usando uma expansão linear ou considerar a definição de derivada da função $ \sqrt[3]{x} $ em $ x = 8 $.
A derivada de $ \sqrt[3]{x} $ é:
raiz[3]8 = 2
Avaliada em $ x = 8 $:
h

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, temos:
f'(8) = limh to 0 2 + h - raiz[3]8 + hh = limh to 0 ( 2 - raiz[3]8h + hh )
Sabendo que $ \sqrt[3]{8} = 2 $, a primeira parte se anula:
raiz[3]8 = 2
2 - 2h = 0
Então:
hh = 1

Passo 8

No entanto, precisamos considerar a contribuição da derivada da parte $ \sqrt[3]{x} $. Como calculamos anteriormente, a derivada de $ \sqrt[3]{x} $ em 8 é $ \frac{1}{12} $. Então, a derivada total de $ f(x) = x - \sqrt[3]{x} $ em 8 é:
raiz[3]x

Resposta

A derivada de $ f $ em $ a = 8 $ é $ f’(8) = \frac{11}{12} $.

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