Calcule
usando a definição, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ f(x) = x - \sqrt[3]{x} $ no ponto $ a = 8 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar a definição de limite que nos dá a derivada em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é dada por:
Aqui, $ h $ representa um pequeno incremento em $ x $ próximo de $ a $.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ f(x) $ e $ a $ na definição. Nosso $ f(x) $ é $ x - \sqrt[3]{x} $ e $ a = 8 $. Então:
Passo 4
Vamos calcular $ f(8+h) $ e $ f(8) $:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Sabemos que $ \sqrt[3]{8} = 2 $. Para pequenos valores de $ h $, podemos aproximar $ \sqrt[3]{8 + h} $ usando uma expansão linear ou considerar a definição de derivada da função $ \sqrt[3]{x} $ em $ x = 8 $.
A derivada de $ \sqrt[3]{x} $ é:
Avaliada em $ x = 8 $:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, temos:
Sabendo que $ \sqrt[3]{8} = 2 $, a primeira parte se anula:
Então:
Passo 8
No entanto, precisamos considerar a contribuição da derivada da parte $ \sqrt[3]{x} $. Como calculamos anteriormente, a derivada de $ \sqrt[3]{x} $ em 8 é $ \frac{1}{12} $. Então, a derivada total de $ f(x) = x - \sqrt[3]{x} $ em 8 é:
Resposta
A derivada de $ f $ em $ a = 8 $ é $ f’(8) = \frac{11}{12} $.