Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x+1} $. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de derivação, como a regra do poder e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. A função $ f(x) = \frac{1}{x+1} $ pode ser escrita como $ f(x) = (x + 1)^{-1} $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra do poder. A regra do poder diz que se temos uma função da forma $ g(x) = x^n $, sua derivada é $ g’(x) = n \cdot x^{n-1} $. No nosso caso, $ n = -1 $ e a função interna é $ u = x + 1 $.
Passo 4
Como temos uma função composta $ (x + 1)^{-1} $, precisamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ f(g(x)) $ é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia:
- Derivada da parte externa: para $ (u)^{-1} $, onde $ u = x + 1 $, a derivada é $ -1 \cdot u^{-2} $.
- Derivada da parte interna: a derivada de $ u = x + 1 $ em relação a $ x $ é 1.
Passo 6
Multiplicando as derivadas das partes externa e interna:
Simplificando:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \frac{1}{x+1} $ é $ f’(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} $.