Derivada de y=arctg(sen x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta y=arctg(sen x). O conteúdo envolvido é derivação de função composta, usando a regra da cadeia, a derivada de arctg(u) e a derivada de sen x.

Passo 2

Vamos identificar as duas etapas da composição. Seja u=sen x, então y=arctg(u). Pela regra da cadeia, a derivada é dado por:
dydx=du/dx1+u^2

Passo 3

Agora calculamos du/dx para u=sen x. Sabemos que
ddx(sin x)=cos x

Passo 4

Por fim, substituímos u=sen x e du/dx=cos x na fórmula da regra da cadeia, obtendo:
dydx=cos x1+sin^2 x

Resposta

y'=cos x1+sin^2 x

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