Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(u) = \left(\frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1}\right)^{3} $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta aqui. Temos uma função externa $ \left( \cdot \right)^{3} $ e uma função interna $ \frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1} $. Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
A regra da cadeia diz que a derivada de $ f(g(u)) $ é $ f’(g(u)) \cdot g’(u) $. Aplicando isso à nossa função:
Passo 4
Agora, precisamos derivar a parte interna $ \frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1} $. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
Aqui, $ A = u^{2} - 1 $ e $ B = u^{2} + 1 $.
Passo 5
Vamos calcular $ A’ $ e $ B’ $:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada interna fica:
Passo 8
Voltando à regra da cadeia, substituímos a derivada interna:
Passo 9
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada da função é: