Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(u)=((u^wed>= 2-1) /(u^wed>= 2+1))^wed>= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(u) = \left(\frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1}\right)^{3} $. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar entender como aplicar essas regras para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que temos uma função composta aqui. Temos uma função externa $ \left( \cdot \right)^{3} $ e uma função interna $ \frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1} $. Para derivar uma função composta, usamos a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de $ f(g(u)) $ é $ f’(g(u)) \cdot g’(u) $. Aplicando isso à nossa função:
f(g(u))

Passo 4

Agora, precisamos derivar a parte interna $ \frac{u^{2} - 1}{u^{2} + 1} $. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz:
u^2 - 1u^2 + 1
Aqui, $ A = u^{2} - 1 $ e $ B = u^{2} + 1 $.

Passo 5

Vamos calcular $ A’ $ e $ B’ $:
A'
B'

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
ddu ( u^2 - 1u^2 + 1 ) = (u^2 + 1)(2u) - (u^2 - 1)(2u)(u^2 + 1)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
(u^2 + 1)(2u) - (u^2 - 1)(2u) = 2u(u^2 + 1 - u^2 + 1) = 2u(2) = 4u
Então, a derivada interna fica:
4u(u^2 + 1)^2

Passo 8

Voltando à regra da cadeia, substituímos a derivada interna:
f'(u) = 3 ( u^2 - 1u^2 + 1 )^2 cdot 4u(u^2 + 1)^2

Passo 9

Simplificando os termos:
f'(u) = 12u cdot (u^2 - 1)^2(u^2 + 1)^4

Resposta

A derivada da função é:
f'(u) = 12u cdot (u^2 - 1)^2(u^2 + 1)^4

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