Considere a seguinte função, definida no inervalo de até :
Assuma que a função seja periódica, com período , sendo neste caso definida de até . Obtenha a expansão em séries de Fourier (completa, com senos e cossenos) para esta função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com uma função definida no intervalo de até . Essa função vale 2 quando e igual a quando . Além disso, a função é periódica com período , ou seja, ela se repete de até . Nosso objetivo aqui é encontrar a expansão dessa função em uma série de Fourier completa, ou seja, com termos de seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar uma função periódica como a soma de termos de seno e cosseno. A forma geral da série completa de Fourier é:
Aqui, é metade do período, que no nosso caso é . Os coeficientes , e são encontrados usando integrais específicas da função .
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Substituindo , temos:
Como a função é definida de a e periódica, podemos simplificar a integral para:
Agora, dividimos a integral nos dois intervalos onde a função tem definições diferentes:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos( npi xL ) dx :
an = 14 integral0^4 f(x) cos( npi x4 ) dx
Novamente, como a função é periódica e definida de an = 14 ( integral0^2 2 cos( npi x4 ) dx + integral2^4 x cos( npi x4 ) dx ) a integral0^2 2 cos( npi x4 ) dx = 2 cdot 4npi sin( npi x4 ) g|0^2 = 8npi sin( npi2 ) :
x cdot 4npi sin( npi x4 ) - integral 4npi sin( npi x4 ) dx