Considere a seguinte função, definida no inervalo de x=0 até x=4 :
f(x)= 2 & 0 <= x<2 x & 2 <= x<4
Assuma que a função f(x) seja periódica, com período 2 L=8, sendo neste caso definida de x=-4 até x=4. Obtenha a expansão em séries de Fourier (completa, com senos e cossenos) para esta função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com uma função definida no intervalo de até . Essa função vale 2 quando e igual a quando . Além disso, a função é periódica com período , ou seja, ela se repete de até . Nosso objetivo aqui é encontrar a expansão dessa função em uma série de Fourier completa, ou seja, com termos de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar uma função periódica como a soma de termos de seno e cosseno. A forma geral da série completa de Fourier é:
f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos( npi xL ) + bn sin( npi xL ) ]
Aqui, é metade do período, que no nosso caso é . Os coeficientes , e são encontrados usando integrais específicas da função .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx , que representa a média da função no período:
a0 = 14 integral-4^4 f(x) , dx
Substituindo a0 = 14 integral0^4 f(x) , dx , temos:
a0 = 14 ( integral0^2 2 , dx + integral2^4 x , dx )
Como a função é definida de integral0^2 2 , dx = 2x g|0^2 = 4 a integral2^4 x , dx = x^22 g|2^4 = 162 - 42 = 8 - 2 = 6 e periódica, podemos simplificar a integral para:
a0 = 14 (4 + 6) = 104 = 2.5
Agora, dividimos a integral nos dois intervalos onde a função tem definições diferentes:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos( npi xL ) dx :
an = 14 integral0^4 f(x) cos( npi x4 ) dx
Novamente, como a função é periódica e definida de an = 14 ( integral0^2 2 cos( npi x4 ) dx + integral2^4 x cos( npi x4 ) dx ) a integral0^2 2 cos( npi x4 ) dx = 2 cdot 4npi sin( npi x4 ) g|0^2 = 8npi sin( npi2 ) :
x cdot 4npi sin( npi x4 ) - integral 4npi sin( npi x4 ) dx
Dividindo a integral:
= 4xnpi sin( npi x4 ) + 16(npi)^2 cos( npi x4 ) g|2^4
Calculamos cada integral separadamente:
Primeira integral:
4(4)npi sin(npi) + 16(npi)^2 cos(npi) - ( 4(2)npi sin( npi2 ) + 16(npi)^2 cos( npi2 ) )
Segunda integral:
Para 0 + 16(npi)^2 (-1)^n - ( 8npi sin( npi2 ) + 16(npi)^2 cos( npi2 ) ) , usamos integração por partes:
Deixe 16(npi)^2 (-1)^n - 8npi sin( npi2 ) - 16(npi)^2 cos( npi2 ) e
Então, e
Aplicando integração por partes:
Substituindo os limites:
Simplificando, sabemos que e , então:
Portanto, a segunda integral fica:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes para an = 14 ( 8npi sin( npi2 ) + 16(npi)^2 (-1)^n - 8npi sin( npi2 ) - 16(npi)^2 cos( npi2 ) ) :
an = 14 ( 16(npi)^2 (-1)^n - 16(npi)^2 cos( npi2 ) ) = 4(npi)^2 ( (-1)^n - cos( npi2 ) )
Após simplificar:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1L integral-L^L f(x) sin( npi xL ) dx :
bn = 14 integral0^4 f(x) sin( npi x4 ) dx
Substituindo bn = 14 ( integral0^2 2 sin( npi x4 ) dx + integral2^4 x sin( npi x4 ) dx ) :
integral0^2 2 sin( npi x4 ) dx = 2 cdot ( -4npi cos( npi x4 ) ) g|0^2 = -8npi ( cos( npi2 ) - 1 )
Dividindo a integral:
bn = 14 ( -8npi ( cos( npi2 ) - 1 ) + 16(npi)^2 cos(npi) - 16(npi)^2 sin( npi2 ) )
Primeira integral:
bn = -2npi ( cos( npi2 ) - 1 ) + 4(npi)^2 ( (-1)^n - sin( npi2 ) )
Segunda integral: novamente usamos integração por partes com e .
Após os cálculos, similar ao que fizemos para , obtemos:
Simplificando:

Resposta

Então, juntando tudo, a expansão em série de Fourier completa para a função f(x) = 52 + sumn=1^infty [ 4(npi)^2 ( (-1)^n - cos( npi2 ) ) cos( npi x4 ) + ( -2npi ( cos( npi2 ) - 1 ) + 4(npi)^2 ( (-1)^n - sin( npi2 ) ) ) sin( npi x4 ) ] no intervalo de a é:
Essa série representa a função original de forma infinita, combinando termos de cosseno e seno com os coeficientes que calculamos.

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