Derivada de y=(arctg x /(sen x)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y = arctg xsin x. O conteúdo envolve derivadas de funções trigonométricas e da função arco-tangente, além da regra do quociente.

Passo 2

Vamos chamar o numerador de u(x)=arctg x e o denominador de v(x)=sin x. Para aplicar a regra do quociente, precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivando u(x) e v(x):
u'(x)=ddx(arctg x)=11+x^2, v'(x)=ddx(sin x)=cos x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente l(uvr)'=u'v - u v'v^2, obtemos:
y'=l(11+x^2r)sin x - (arctg x)cos x(sin x)^2

Passo 5

Esse resultado já expressa a derivada de forma clara. Se quiser, pode deixar como está ou reorganizar os termos, mas não há simplificação essencial além dessa.
Para reforçar, usamos a derivada de arctg x que é 1/(1+x^2), do seno que é o cosseno, e a regra do quociente para combinar tudo.

Resposta

y'=11+x^2,sin x - arctg x,cos xsin^2 x

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