Considere a seguinte função, definida no inervalo de até :
Obtenha uma expansão para a função utilizando uma expansão em série de Fourier em senos, supondo que exista uma extensão ímpar para no intervalo de até .
Dica: Lembre-se que as integrais podem ser simplificadas para o casos de funções pares e impares!!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de até da seguinte forma:
O objetivo aqui é encontrar a expansão dessa função em uma série de Fourier composta apenas por senos. Para isso, vamos usar algumas ideias de cálculo de séries de Fourier para funções ímpares e entender como simplificar as integrais nesse processo.
Passo 2
Primeiro, como a dica sugere, vamos considerar uma extensão ímpar da função no intervalo de até . Uma função ímpar satisfaz . Isso nos ajuda porque, ao trabalhar com funções ímpares, a série de Fourier terá apenas termos de senos, já que os senos são funções ímpares.
Então, nossa função estendida fica assim:
Passo 3
Vamos agora escrever a série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL) . A série fica assim:
Aqui, são os coeficientes que vamos calcular, e é metade do comprimento do intervalo. No nosso caso, , já que estamos considerando de a .
Passo 4
Para encontrar os coeficientes bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx , usamos a fórmula:
bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
Mas, como a função é ímpar e o seno também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é uma função par. Isso significa que podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :