Considere a seguinte função, definida no inervalo de x=0 até x=4 :
f(x)= 2 & 0 <= x<2 x & 2 <= x<4
Obtenha uma expansão para a função f(x) utilizando uma expansão em série de Fourier em senos, supondo que exista uma extensão ímpar para f(x) no intervalo de x=-4 até x=0.
Dica: Lembre-se que as integrais podem ser simplificadas para o casos de funções pares e impares!!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x) = 2 & se 0 <= x < 2 x & se 2 <= x < 4 definida de até da seguinte forma:
O objetivo aqui é encontrar a expansão dessa função em uma série de Fourier composta apenas por senos. Para isso, vamos usar algumas ideias de cálculo de séries de Fourier para funções ímpares e entender como simplificar as integrais nesse processo.

Passo 2

Primeiro, como a dica sugere, vamos considerar uma extensão ímpar da função f(x) = -2 & se -4 <= x < -2 -x & se -2 <= x < 0 2 & se 0 <= x < 2 x & se 2 <= x < 4 no intervalo de até . Uma função ímpar satisfaz . Isso nos ajuda porque, ao trabalhar com funções ímpares, a série de Fourier terá apenas termos de senos, já que os senos são funções ímpares.
Então, nossa função estendida fica assim:

Passo 3

Vamos agora escrever a série de Fourier para uma função ímpar em um intervalo f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL) . A série fica assim:
Aqui, são os coeficientes que vamos calcular, e é metade do comprimento do intervalo. No nosso caso, , já que estamos considerando de a .

Passo 4

Para encontrar os coeficientes bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx , usamos a fórmula:
bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
Mas, como a função é ímpar e o seno também é ímpar, o produto de duas funções ímpares é uma função par. Isso significa que podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :

Passo 5

Substituindo bn = 24 integral0^4 f(x) sin(npi x4) dx = 12 integral0^4 f(x) sin(npi x4) dx na equação:
bn = 12 ( integral0^2 2 sin(npi x4) dx + integral2^4 x sin(npi x4) dx )
Agora, dividimos a integral conforme a definição de :

Passo 6

Calculando a primeira integral:
integral0^2 2 sin(npi x4) dx = 2 [ -4npi cos(npi x4) ]0^2 = -8npi ( cos(npi cdot 24) - cos(0) )
Simplificando:
-8npi ( cos(npi2) - 1 ) = 8npi (1 - cos(npi2))

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral usando integração por partes. Seja integral x sin(npi x4) dx = -4xnpi cos(npi x4) + 4npi integral cos(npi x4) dx e 4npi cdot 4npi sin(npi x4) = 16n^2 pi^2 sin(npi x4) . Então, -4xnpi cos(npi x4) + 16n^2 pi^2 sin(npi x4) e [ -4 cdot 4npi cos(npi) + 16n^2 pi^2 sin(npi) ] - [ -4 cdot 2npi cos(npi2) + 16n^2 pi^2 sin(npi2) ] .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
-16npi cos(npi) + 8npi cos(npi2) - 16n^2 pi^2 sin(npi2)
Calculando a segunda integral:
Então, a integral completa fica:
Calculando de a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, combinamos os resultados das duas integrais para encontrar bn = 12 ( 8npi (1 - cos(npi2)) - 16npi cos(npi) + 8npi cos(npi2) - 16n^2 pi^2 sin(npi2) ) :
bn = 12 ( 8npi - 16npi cos(npi) - 16n^2 pi^2 sin(npi2) )
Simplificando os termos:
bn = 4npi - 8npi cos(npi) - 8n^2 pi^2 sin(npi2)
Simplificando mais:

Passo 9

Sabemos que e varia de acordo com . Observando os valores, notamos que para ímpar, será alternadamente e , e para par, será .
Portanto, podemos simplificar a expressão de considerando esses casos.

Passo 10

Finalmente, substituindo tudo na série de Fourier, temos:
f(x) = sumn=1^infty ( 4npi - 8npi (-1)^n ) sin(npi x4)
Isso simplifica para:
f(x) = sumn=1^infty 4npi (1 - 2(-1)^n) sin(npi x4)

Resposta

A expansão em série de Fourier em senos para a função f(x) = sumn=1^infty 4npi (1 - 2(-1)^n) sin(npi x4) é:

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