Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(u) = (u^{2} - 1)(u^{3} + 1) $. A matéria que estamos usando aqui é Derivadas, especificamente a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada de $ f(u) $.
Passo 2
Primeiro, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
Passo 3
A regra do produto diz que se temos uma função $ f(u) = g(u) \cdot h(u) $, então a derivada $ f’(u) $ é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ g(u) $ e $ h(u) $.
Passo 4
Vamos calcular $ g’(u) $:
A derivada de $ u^{2} $ é $ 2u $ e a derivada de uma constante, como $ -1 $, é 0. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ h’(u) $:
A derivada de $ u^{3} $ é $ 3u^{2} $ e a derivada de $ 1 $ é 0. Então:
Passo 6
Agora que temos $ g’(u) $ e $ h’(u) $, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar agora. Primeiro, multiplicamos:
Então:
Passo 8
Agora, multiplicamos a segunda parte:
Passo 9
Agora, juntamos as duas partes:
Passo 10
Finalmente, somamos os termos semelhantes:
Então:
Resposta
A derivada da função é: