Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(u)=(u^wed>= 2-1)(u^wed>= 3+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(u) = (u^{2} - 1)(u^{3} + 1) $. A matéria que estamos usando aqui é Derivadas, especificamente a regra do produto, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos precisar aplicar essa regra para encontrar a derivada de $ f(u) $.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
g(u) = u^2 - 1
h(u) = u^3 + 1

Passo 3

A regra do produto diz que se temos uma função $ f(u) = g(u) \cdot h(u) $, então a derivada $ f’(u) $ é:
f(u) = g(u) cdot h(u)
Então, precisamos encontrar as derivadas de $ g(u) $ e $ h(u) $.

Passo 4

Vamos calcular $ g’(u) $:
g'(u)
A derivada de $ u^{2} $ é $ 2u $ e a derivada de uma constante, como $ -1 $, é 0. Então:
g(u) = u^2 - 1

Passo 5

Agora, vamos calcular $ h’(u) $:
h'(u)
A derivada de $ u^{3} $ é $ 3u^{2} $ e a derivada de $ 1 $ é 0. Então:
h(u) = u^3 + 1

Passo 6

Agora que temos $ g’(u) $ e $ h’(u) $, vamos aplicar a regra do produto:
g'(u)
Substituindo:
h'(u)

Passo 7

Vamos simplificar agora. Primeiro, multiplicamos:
2u cdot u^3 = 2u^4
2u cdot 1 = 2u
Então:
2u cdot (u^3 + 1) = 2u^4 + 2u

Passo 8

Agora, multiplicamos a segunda parte:
(u^2 - 1) cdot 3u^2 = 3u^4 - 3u^2

Passo 9

Agora, juntamos as duas partes:
f'(u) = 2u^4 + 2u + 3u^4 - 3u^2

Passo 10

Finalmente, somamos os termos semelhantes:
2u^4 + 3u^4 = 5u^4
Então:
f'(u) = 5u^4 - 3u^2 + 2u

Resposta

A derivada da função é:
f'(u) = 5u^4 - 3u^2 + 2u

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