Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
f(x)=(3 x^wed>= 2-1)^wed>= 9 / 2

Passo 1

Então, a gente tem a função $ f(x) = \left(3x^{2} - 1\right)^{\frac{9}{2}} $. O assunto aqui é derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia, que usamos quando temos funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar potências e aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. A função externa é $ u^{\frac{9}{2}} $, onde $ u = 3x^{2} - 1 $. Isso significa que estamos lidando com uma função composta: uma função dentro da outra.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função externa em relação a $ u $. A derivada de $ u^{\frac{9}{2}} $ é:
u
Isso vem da regra do expoente, onde a gente traz o expoente pra frente e diminui ele em 1.

Passo 4

Em seguida, vamos derivar a função interna $ u = 3x^{2} - 1 $ em relação a $ x $:
u = 3x^2 - 1
Isso é simples, só aplicamos a regra da potência para $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(x) = 92u^72 cdot 6x
Substituindo $ u $ por $ 3x^{2} - 1 $, fica:
u

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
f'(x) = 92 cdot 6x cdot (3x^2 - 1)^72 = 27x cdot (3x^2 - 1)^72

Resposta

A derivada de $ f(x) = \left(3x^{2} - 1\right)^{\frac{9}{2}} $ é:
f(x) = (3x^2 - 1)^92

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