Derivada dos seguintes exercícios(40 à 56):
Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(x) = \left(3x^{2} - 1\right)^{\frac{9}{2}} $. O assunto aqui é derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia, que usamos quando temos funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar potências e aplicar essa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. A função externa é $ u^{\frac{9}{2}} $, onde $ u = 3x^{2} - 1 $. Isso significa que estamos lidando com uma função composta: uma função dentro da outra.
Passo 3
Agora, vamos derivar a função externa em relação a $ u $. A derivada de $ u^{\frac{9}{2}} $ é:
Isso vem da regra do expoente, onde a gente traz o expoente pra frente e diminui ele em 1.
Passo 4
Em seguida, vamos derivar a função interna $ u = 3x^{2} - 1 $ em relação a $ x $:
Isso é simples, só aplicamos a regra da potência para $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia. Multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Substituindo $ u $ por $ 3x^{2} - 1 $, fica:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \left(3x^{2} - 1\right)^{\frac{9}{2}} $ é: