A derivada segunda de f (ou derivada de segunda ordem de f ), indicada por f^prime prime, é a derivada da derivada de f, ou seja, f^prime prime(x)=[f^prime(x)]^prime. Assim, responda os itens abaixo.
Seja g uma função duas vezes derivável e f dada por f(x)=g(x+2 cos (3 x)). Sabendo que g^prime(2)=1 e que g^prime prime(2)=8, determine f^prime prime(x) e f^prime prime(0).

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f definida por
f(x)=gl(x+2cos(3x)r),
sabendo que g é duas vezes derivável, ,g'(2)=1 e ,g''(2)=8. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de ordem superior.

Passo 2

Defina a função interna ,h(x)=x+2cos(3x). Calculamos suas derivadas:
h'(x)=1 -6sin(3x),
h''(x)=-18cos(3x)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, primeiro a primeira derivada:
f'(x)=g'l(h(x)r),h'(x)
Agora derivamos de novo usando a fórmula de Leibniz para produto e regra da cadeia:
f''(x) =l[g'l(h(x)r)r]'h'(x) +g'l(h(x)r),h''(x) =g''l(h(x)r),[h'(x)]^2 +g'l(h(x)r),h''(x)
Substituindo h'(x) e h''(x), obtemos
f''(x) = g''l(h(x)r),l(1-6sin(3x)r)^2 -18,g'l(h(x)r),cos(3x)

Passo 4

Para x=0:
h(0)=0+2cos(0)=2, h'(0)=1-6sin(0)=1, h''(0)=-18cos(0)=-18
Logo,
f''(0) = g''(2)cdot1^2 + g'(2)cdot(-18) =8 -18 =-10

Resposta

f''(x) = g''l(x+2cos(3x)r),l(1-6sin(3x)r)^2 -18,g'l(x+2cos(3x)r),cos(3x),
f''(0)=-10

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