Questão 1 Calcule integral duplaD(x^2-y^2) sin (x+y) d x d y onde
D:=(x, y) in R^2:-pi <= x+y <= pi,-pi <= x-y <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2-y^2r)sin(x+y),dx,dy
sobre a região
D=l(x,y)inR^2:,-pi<= x+y<=pi,;- pi<= x-y<=pir
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis para transformar o paralelogramo D num retângulo em variáveis adequadas e simplificar a integral.

Passo 2

Escolhemos a transformação
u = x + y, v = x - y
Invertendo, obtemos
x = u+v2, y = u-v2,
e a região D em (u,v) vira simplesmente
-pi <= u <= pi, -pi <= v <= pi,
ou seja, um retângulo [-pi,pi]times[-pi,pi].

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y):
partial(x,y)partial(u,v) = 12 & 12[6pt] 12 & -12 = -12 - 12 = -1,
logo l|detpartial(x,y)/partial(u,v)r|=tfrac12. Assim
dx,dy = 12,du,dv ]

Passo 4

Expressão do integrando em (u,v):
x^2 - y^2 = (u+v)^2 - (u-v)^24 = uv, sin(x+y)=sin u
Portanto a integral fica
integral duplaD(x^2 - y^2)sin(x+y),dx,dy = 12 integralu=-pi^pi!integralv=-pi^piuv,sin u;dv,du

Passo 5

Como sin u independe de v, podemos separar:
12 integralu=-pi^pi!l(sin ucdot ur) underbraceintegralv=-pi^piv,dv0 ,du
O integral em v é zero pois vmapsto v é função ímpar em [-pi,pi]. Logo toda a integral vale zero.

Resposta

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