Questão 1 Calcule
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variáveis para transformar o paralelogramo
num retângulo em variáveis adequadas e simplificar a integral.
Passo 2
Escolhemos a transformação
Invertendo, obtemos
e a região
em
vira simplesmente
ou seja, um retângulo
.
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação
:
logo
l|detpartial(x,y)/partial(u,v)r|=tfrac12 . Assim
Passo 4
Expressão do integrando em
(u,v) :
Portanto a integral fica
Passo 5
Como
sin u independe de
v , podemos separar:
O integral em
v é zero pois
vmapsto v é função ímpar em
[-pi,pi] . Logo toda a integral vale zero.